쎈수학 미적분Ⅰ · 03 미분계수와 도함수
0300
난이도 하
그래프와 미분가능성
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문제를 읽자마자
출제의도
식은 하나도 없다. 끊겼는가, 꺾였는가 두 번만 물어라
앞 문제(0299)를 식으로 풀었다면, 이 문제는 같은 판정을 눈으로 하라는 문제입니다. x=a에서 미분가능하려면 조건이 딱 둘입니다. ① 그 점에서 끊기지 않았을 것, ② 그 점에서 꺾이지 않았을 것. 다섯 개의 그래프는 이 두 조건을 하나씩 어기도록 설계되어 있고, 둘 다 통과하는 것은 하나뿐입니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 1차 걸러내기: 끊긴 것
그래프 다섯 개에서 x=a 부근의 빈 동그라미(○)부터 찾으세요. 빈 동그라미는 “그 점에 값이 없다” 또는 “값이 다른 곳에 있다”는 표시입니다.
불연속이면 미분가능은 자동으로 탈락입니다. 이 단계에서 두 개가 사라집니다.
불연속이면 미분가능은 자동으로 탈락입니다. 이 단계에서 두 개가 사라집니다.
힌트 2 — 2차 걸러내기: 꺾인 것
남은 것들에서 x=a의 왼쪽 접선 기울기와 오른쪽 접선 기울기를 부호만 비교하세요.
한쪽은 음수인데 다른 쪽은 양수라면, 그 점에서 좌미분계수와 우미분계수가 다르다는 뜻입니다. 즉 f′(a)가 존재하지 않습니다. 뾰족하게 방향이 바뀌는 그래프 두 개가 여기서 걸립니다.
한쪽은 음수인데 다른 쪽은 양수라면, 그 점에서 좌미분계수와 우미분계수가 다르다는 뜻입니다. 즉 f′(a)가 존재하지 않습니다. 뾰족하게 방향이 바뀌는 그래프 두 개가 여기서 걸립니다.
힌트 3 — 마지막 하나를 의심하지 말 것
남은 것이 수평인 직선(상수함수)이라면 그것이 답입니다.
“변하지 않는데 미분이 되나?” 싶겠지만, 상수함수는 모든 점에서 f′(x)=0 입니다. 기울기 0도 엄연히 존재하는 미분계수입니다. 미분가능하지 않다는 말은 “값이 없다”는 뜻이지 “값이 0이다”가 아닙니다.
“변하지 않는데 미분이 되나?” 싶겠지만, 상수함수는 모든 점에서 f′(x)=0 입니다. 기울기 0도 엄연히 존재하는 미분계수입니다. 미분가능하지 않다는 말은 “값이 없다”는 뜻이지 “값이 0이다”가 아닙니다.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 ④ x=a에서 미분가능
더 확실한 판정법 — 확대해 보기
미분가능한 점은 확대할수록 직선에 가까워집니다(국소적으로 접선과 구별되지 않음). 머릿속에서 x=a 부근을 돋보기로 키운다고 상상해 보세요.
꺾인 점은 아무리 확대해도 V자 모양이 그대로 남고, 끊긴 점은 아무리 확대해도 틈이 그대로 남습니다. 선택지가 그래프로 주어질 때 가장 빠른 판별법입니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
상수함수는 미분이 안 된다고 생각한다
변화율이 0인 것과 변화율이 없는 것은 완전히 다릅니다. 수평선은 모든 점에서 f′=0으로 미분가능합니다. 이 선입견 하나 때문에 정답을 지우는 학생이 매년 나옵니다. -
빈 동그라미와 채워진 동그라미를 구분하지 않는다
○는 그 점이 빠져 있다는 표시, ●는 그 점의 값이라는 표시입니다. 그래프 문제에서 이 두 기호가 답을 결정합니다. 문제를 읽을 때 동그라미부터 표시해 두세요. -
꺾인 점에도 접선을 하나 그을 수 있다고 본다
뾰족점에서는 왼쪽에서 다가갈 때와 오른쪽에서 다가갈 때 기울기가 다릅니다. 접선 후보가 여러 개라는 것은 곧 접선이 하나도 없다는 뜻입니다. -
“매끄러워 보인다”만으로 판단한다
그림은 손으로 그린 것이라 눈속임이 있습니다. 반드시 x=a 좌우의 기울기 부호를 말로 확인하세요. “왼쪽은 내려가고 오른쪽은 올라간다”까지 소리 내어 읽으면 실수가 줄어듭니다. -
그래프 전체 모양에 휘둘린다
묻는 것은 오직 x=a 한 점입니다. 다른 구간에서 아무리 이상하게 생겼어도, 다른 곳에서 미분이 안 되어도 상관없습니다. 시야를 a 근처로 좁히세요.
“쎈미적분1 0300”에 대한 1개의 생각