쎈수학 미적분Ⅰ · 03 미분계수와 도함수
0299
대표문제
미분가능성과 연속성
풀이영상 있음
대표문제
미분가능성과 연속성
풀이영상 있음
먼저 보기
풀이영상
문제를 읽자마자
출제의도
그래프가 이어져 있어도 꺾이면 미분할 수 없다
미분가능하면 연속이지만, 연속이라고 미분가능한 것은 아닙니다. 이 유형의 대표문제는 그 “역이 성립하지 않는다”의 반례를 직접 찾아내라는 문제입니다. 선택지 다섯 개는 각각 매끄러운 함수, 끊긴 함수, 꺾인 함수를 섞어 놓은 진열장이고, 여러분이 할 일은 연속 O + 미분 X인 칸 하나를 골라내는 것입니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 순서를 정하고 걸러내기
다섯 개를 동시에 보지 마세요. 1차 관문은 연속입니다. x=0에서 함숫값이 정의되어 있는지, 좌우극한이 같은지부터 확인해서 탈락시키세요.
③ f(x)=|x|/x 는 x=0을 대입하면 어떻게 되나요? 이 한 줄로 ③은 후보에서 사라집니다.
③ f(x)=|x|/x 는 x=0을 대입하면 어떻게 되나요? 이 한 줄로 ③은 후보에서 사라집니다.
힌트 2 — 절댓값이 보이면 좌우로 쪼갠다
절댓값이 들어간 ②·④는 우미분계수와 좌미분계수를 따로 구해야 합니다.
정의식은 f′(0)=limh→0 {f(h)−f(0)}/h 입니다. h→0+ 와 h→0− 두 번 계산해서 값을 비교하세요.
②는 |h|³/h = h²|h|/h = h|h| 로 정리됩니다. ④는 (h+|h|)/h 를 h의 부호로 나눠 쓰세요.
정의식은 f′(0)=limh→0 {f(h)−f(0)}/h 입니다. h→0+ 와 h→0− 두 번 계산해서 값을 비교하세요.
②는 |h|³/h = h²|h|/h = h|h| 로 정리됩니다. ④는 (h+|h|)/h 를 h의 부호로 나눠 쓰세요.
힌트 3 — 남은 ⑤ 처리하기
구간별로 정의된 함수는 연속 → 미분가능 순서로 확인합니다.
f(0)=(0+1)²=1, limx→0−(2x+1)=1 이므로 연속입니다.
이제 미분계수. 오른쪽은 {(h+1)²−1}/h, 왼쪽은 {(2h+1)−1}/h 입니다. 두 극한값이 같으면 미분가능, 다르면 아닙니다. −1을 빼는 것을 잊지 마세요.
f(0)=(0+1)²=1, limx→0−(2x+1)=1 이므로 연속입니다.
이제 미분계수. 오른쪽은 {(h+1)²−1}/h, 왼쪽은 {(2h+1)−1}/h 입니다. 두 극한값이 같으면 미분가능, 다르면 아닙니다. −1을 빼는 것을 잊지 마세요.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 ④ f(x) = x + |x|
더 빠른 길 — 식을 풀어서 그래프로 본다
x+|x| 는 x≥0에서 2x, x<0에서 0입니다. 즉 원점에서 만나는 기울기 0의 반직선과 기울기 2의 반직선이라 딱 봐도 꺾입니다.
반면 |x|³=x²·|x| 는 x²가 0 근처를 눌러주기 때문에 원점에서 x축에 납작하게 붙어 매끄럽습니다. 절댓값이 있다고 무조건 꺾이는 것이 아니라는 점이 이 문제의 진짜 함정입니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
③을 정답으로 고른다
|x|/x 는 x=0에서 함숫값 자체가 없습니다. 문제의 전제가 “연속이지만”이므로, 불연속인 순간 후보에서 제외됩니다. 미분가능 여부를 따질 자격조차 없는 선택지입니다. -
②를 절댓값이 있다는 이유로 꺾인다고 단정한다
|x|와 |x|³은 다릅니다. |x|³=x²|x| 이므로 미분계수는 lim h|h| = 0. 절댓값 밖에 붙은 거듭제곱이 뾰족함을 눌러 없앱니다. -
미분계수를 한쪽에서만 계산하고 끝낸다
꺾임을 판정하려면 h→0+ 와 h→0− 를 반드시 둘 다 구해야 합니다. 한쪽만 존재해도 미분가능이라고 쓰면 서술형에서는 통째로 감점입니다. -
연속임을 확인하고 미분가능하다고 넘어간다
화살표 방향은 미분가능 ⟹ 연속, 한 방향뿐입니다. 이 문제는 그 역이 거짓이라는 사실 하나를 묻고 있습니다. -
⑤에서 f(0)을 빼지 않고 대입한다
{(h+1)²−1}/h 인데 (h+1)²/h 로 쓰면 발산해 버립니다. 미분계수 정의는 언제나 “함숫값의 차”입니다.