쎈수학 미적분Ⅰ · 03 미분계수와 도함수
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문제를 읽자마자
출제의도
기준점 f(a)를 인위적으로 끼워 넣어 두 개의 미분계수로 쪼개라는 문제
f(a+4h)와 f(a+h²)는 서로 비교할 수 없는 두 값입니다. 공통 기준인 f(a)를 빼고 더해 두 덩어리로 분리한 뒤, 각 덩어리의 증분(4h, h²)에 분모를 맞추는 것이 전부입니다. 증분이 h²인 쪽이 0으로 죽는다는 점이 이 문항의 함정입니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 기준점 만들기
분자의 두 항은 기준이 서로 다릅니다. 주어진 정보는 오직 f′(a)뿐이므로, 모든 항이 f(a)를 기준으로 서야 합니다.
분자에 −f(a)+f(a)를 끼워 넣으면 어떤 두 덩어리로 갈라지나요?
분자에 −f(a)+f(a)를 끼워 넣으면 어떤 두 덩어리로 갈라지나요?
힌트 2 — 증분과 분모 맞추기
첫 덩어리 {f(a+4h)−f(a)} / h 는 아직 미분계수가 아닙니다. 증분이 4h인데 분모는 h니까요.
분모를 4h로 만들고 대신 ×4를 붙이세요. 그러면 극한값은 4f′(a)입니다.
분모를 4h로 만들고 대신 ×4를 붙이세요. 그러면 극한값은 4f′(a)입니다.
힌트 3 — h² 쪽은 왜 사라지는가
둘째 덩어리도 같은 방법으로 {f(a+h²)−f(a)} / h² × h 로 씁니다.
앞부분은 f′(a)로 가지만 뒤에 곱해진 h는 0으로 갑니다. f′(a)×0=0. 이 항을 f′(a)로 남겨 두면 답이 9가 됩니다.
앞부분은 f′(a)로 가지만 뒤에 곱해진 h는 0으로 갑니다. f′(a)×0=0. 이 항을 f′(a)로 남겨 두면 답이 9가 됩니다.
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g(h)=f(a+4h), k(h)=f(a+h²)로 두면 g(0)=k(0)=f(a)이고, 주어진 식은 {g(h)−g(0)}/h − {k(h)−k(0)}/h 이므로 g′(0)−k′(0)입니다.
g′(h)=4f′(a+4h)에서 g′(0)=4f′(a)=12, k′(h)=2h·f′(a+h²)에서 k′(0)=0. 따라서 12−0=12. 증분의 계수가 그대로 미분계수 배수로 나온다는 것을 눈으로 확인할 수 있습니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
h² 항도 f′(a)로 처리해 9라고 답한다
4f′(a)−f′(a)=3f′(a)=9는 이 문제의 대표 오답입니다. 증분이 h²이면 분모도 h²여야 하고, 그 대가로 h가 밖에 남아 0으로 갑니다. -
4h 항의 계수 4를 빠뜨린다
분모를 4h로 바꿨으면 반드시 ×4를 붙여야 값이 유지됩니다. 답이 3으로 나왔다면 이 경우입니다. -
f(a)를 끼워 넣지 않고 그대로 계산하려 한다
주어진 정보는 f′(a) 하나뿐입니다. 모든 항이 f(a)를 기준으로 서기 전까지는 어떤 정의도 적용할 수 없습니다. -
두 극한이 각각 수렴하는지 확인하지 않고 나눈다
극한을 두 개로 분리하려면 각각이 수렴해야 합니다. f가 미분가능하다는 조건이 그 근거이며, 서술형에서는 이 언급이 필요합니다. -
4f′(a)까지 구하고 멈춘다
문제가 요구한 것은 값입니다. f′(a)=3을 대입해 12까지 적어야 답입니다.
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