쎈미적분1 0283

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쎈수학 미적분Ⅰ · 03 미분계수와 도함수

0283
난이도 중
미분계수의 정의
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쎈 미적분1 0283번 문제

문제를 읽자마자

출제의도

분수의 차를 통분해서 f(a+h)−f(a)를 만들어내라는 문제

주어진 식에는 미분계수 꼴이 보이지 않습니다. 대괄호 안을 통분하는 순간 분자에 f(a)−f(a+h)가 나타나고, 부호만 뒤집으면 정의 꼴이 됩니다. 사실상 몫의 미분법 (1/f)′=−f′/f² 을 정의로 직접 유도해 보라는 문항입니다.

막혔을 때

힌트

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — 1/h는 잠깐 놔두기
1/h를 어떻게 처리할지 고민하기 전에, 대괄호 안 두 분수를 먼저 통분하세요.
공통분모는 f(a+h)f(a)입니다. 분자에는 무엇이 남나요?
힌트 2 — 부호를 밖으로 빼기
분자는 f(a)−f(a+h)입니다. 이것은 −{f(a+h)−f(a)} 와 같습니다.
이제 1/h를 곱해 −{f(a+h)−f(a)}/h 를 만들면, 이 부분의 극한값은 무엇인가요?
힌트 3 — 남은 분모 처리하기
남은 조각은 1 / {f(a+h)f(a)} 입니다. 다항함수는 연속이므로 h→0일 때 f(a+h)→f(a)입니다.
따라서 이 조각은 1/{f(a)}²로 갑니다. 두 극한을 곱하면 끝입니다.

다 풀고 나서

해설과 풀이영상

정답·해설 펼치기

정답 ①  −f′(a) / {f(a)}²

쎈 미적분1 0283번 해설

풀이영상

더 빠른 길 — 몫의 미분법으로 확인

g(x)=1/f(x)로 두면 주어진 식은 정확히 limh→0 {g(a+h)−g(a)} / h, 즉 g′(a)입니다.
g′(x)=−f′(x)/{f(x)}² 이므로 답은 −f′(a)/{f(a)}². 객관식에서는 이 한 줄로 즉시 고를 수 있고, 서술형에서는 위 정의 풀이를 써야 합니다.

덮기 직전에

실수를 줄이는 전략

  • 부호를 놓쳐 ②를 고른다
    통분하면 분자는 f(a)−f(a+h)입니다. 순서가 뒤집혀 있으므로 −를 반드시 앞으로 빼야 합니다. 이 문제의 오답 1위입니다.
  • 분모의 제곱을 잊고 ③을 고른다
    남는 조각은 1/{f(a+h)f(a)} 이고, 두 인수가 모두 f(a)로 갑니다. f(a) 하나가 아니라 {f(a)}²입니다.
  • f(a+h)→f(a)를 근거 없이 쓴다
    다항함수는 연속이므로 성립한다는 한 줄이 필요합니다. 서술형에서 이 근거가 빠지면 감점 대상입니다.
  • 통분만 하고 1/h를 곱하는 것을 잊는다
    1/h는 미분계수를 만들어 주는 핵심 인수입니다. 통분한 분자에 1/h를 붙여야 {f(a+h)−f(a)}/h 가 완성됩니다.
  • f(a)=0인 경우를 신경 쓰지 않는다
    1/f(a)가 식에 등장한 이상 f(a)≠0은 이미 전제되어 있습니다. 서술형에서는 이 전제를 한 번 적어 두면 안전합니다.


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