쎈미적분1 0282 - 답지나라

쎈수학 미적분Ⅰ · 03 미분계수와 도함수

0282
난이도 중
미분계수의 정의
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문제를 읽자마자

조건을 두 개로 쪼개 읽고, 증분이 −h인 극한을 미분계수 꼴로 맞추라는 문제

f(6)=2f′(6)=2는 한 줄이지만 등식이 두 개입니다. 여기서 f′(6)의 값을 잘못 읽으면 뒤 계산이 아무리 정확해도 답이 틀립니다. 계산 자체는 분자의 2를 f(6)으로 바꾸고 분모를 −h로 맞추는 것이 전부입니다.

막혔을 때

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — 조건부터 다시 읽기

f(6)=2f′(6)=2는 f(6)=2이고 동시에 2f′(6)=2라는 뜻입니다.
그렇다면 f′(6)의 값은 2일까요, 1일까요? 여기서 갈립니다.

힌트 2 — 분자의 상수 2를 없애기

미분계수의 정의에는 상수가 들어갈 자리가 없습니다. 분자의 2는 f(6)으로 바꿔 쓰세요.
그러면 식은 {f(6)−f(6−h)} / h 가 됩니다. 이제 어떤 꼴에 가까워졌나요?

힌트 3 — 증분과 분모를 일치시키기

미분계수는 {f(a+□)−f(a)} / □ 꼴입니다. 지금 증분은 h가 아니라 −h입니다.
분자와 분모에 동시에 −1을 곱해 {f(6−h)−f(6)} / (−h) 로 만드세요. h→0이면 −h→0이므로 이 극한은 f′(6)입니다.

다 풀고 나서

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정답 1

쎈 미적분1 0282번 해설

풀이영상

다른 길 — 치환으로 정리하기

−h=t로 놓으면 h→0일 때 t→0입니다. 주어진 식은 {f(6)−f(6+t)} / (−t) = {f(6+t)−f(6)} / t 가 되고,
이는 그대로 f′(6)=1입니다. 부호를 두 번 바꾸는 것이 불안하다면 이 방법이 더 안전합니다.

덮기 직전에

f′(6)=2로 읽는다
f(6)=2f′(6)=2는 연쇄등식입니다. 2f′(6)=2이므로 f′(6)=1. 답이 2로 나왔다면 계산이 아니라 독해에서 틀린 것입니다.
분자에만 −1을 곱한다
부호는 분자와 분모에 함께 곱해야 값이 유지됩니다. 한쪽만 바꾸면 답이 −1이 됩니다.
증분이 −h인데 분모를 h로 둔 채 f′(6)이라고 쓴다
정의는 증분과 분모가 같은 문자여야 성립합니다. −h로 맞춘 뒤에야 f′(6)이라고 부를 수 있습니다.
분자의 2를 상수로 남겨 둔 채 계산한다
2를 f(6)으로 바꾸는 한 줄이 이 문제의 출발점입니다. 이 줄이 없으면 어떤 변형도 정의 꼴로 가지 않습니다.
f(x)의 식을 직접 구하려 든다
“다항함수”라는 조건만으로는 f(x)가 결정되지 않습니다. 주어진 것은 f(6)과 f′(6) 두 값뿐이고, 그 둘로 충분합니다.

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