쎈미적분1 0281

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쎈수학 미적분Ⅰ · 03 미분계수와 도함수

0281
난이도 하
유형 04 · 미분계수를 이용한 극한값의 계산
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쎈 미적분1 0281번 문제

문제를 읽자마자

출제의도

분모를 증분과 똑같이 맞추는 계수 보정, 딱 한 번

미분계수의 정의는 분자의 증분과 분모가 일치할 때만 성립합니다. 이 문제는 증분이 5h인데 분모가 4h로 어긋나 있습니다. 분모를 5h로 고치고 어긋난 만큼을 밖으로 빼내면 끝나는, 유형 04의 가장 기본형입니다. 선택지 다섯 개가 전부 이 보정을 어디서 틀리는지에 대응합니다.

막혔을 때

힌트

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — 정의와 나란히 놓기
f′(a) = limh→0 {f(a+h)−f(a)} / h 를 옆에 적어 두고 주어진 식과 비교하세요.
분자에서 a에 더해진 것은 5h입니다. 그런데 분모는 4h입니다. 이 불일치가 문제의 전부입니다.
힌트 2 — 분모를 5h로
1 / (4h) 를 (1 / 5h) × (5/4) 로 바꿔 쓸 수 있습니다.
그러면 식은 {f(a+5h)−f(a)} / (5h) 에 5/4가 곱해진 모양이 됩니다. 값은 하나도 바뀌지 않았습니다.
힌트 3 — 남은 것 읽기
h→0이면 5h→0이므로 {f(a+5h)−f(a)} / (5h) 의 극한은 정의 그대로 f′(a)입니다.
앞에 빼 둔 5/4를 다시 곱하는 것만 잊지 마세요.

다 풀고 나서

해설과 풀이영상

정답·해설 펼치기

정답 ④  (5/4) f′(a)

쎈 미적분1 0281번 해설

더 빠른 길 — 눈으로 읽는 계수, 그리고 30초 검산

{f(a+ph)−f(a)} / (qh) 꼴은 곧 (p/q) f′(a)입니다. 여기서는 p=5, q=4이므로 (5/4)f′(a).
불안하면 f(x)=x로 검산하세요. 이때 f′(a)=1이고 원래 식은 5h/(4h)=5/4. 구한 답 (5/4)f′(a)=5/4와 일치합니다. 객관식에서 계수를 뒤집었는지 확인하는 가장 빠른 방법입니다.

덮기 직전에

실수를 줄이는 전략

  • p와 q를 뒤집어 4/5를 곱한다
    선택지 ②가 이 실수입니다. 분자의 증분(5h)이 분모(4h)보다 크면 계수는 반드시 1보다 커야 합니다. 크기 감각으로 한 번 걸러낼 수 있습니다.
  • 분모의 4를 무시한다
    5f′(a), 즉 ⑤로 빠집니다. 분자만 보고 5를 곱해 버린 경우입니다.
  • 분자의 5를 무시한다
    (1/4)f′(a), 즉 ①로 빠집니다. 분모만 보고 1/4를 곱한 경우입니다.
  • h→0이니 계수도 사라진다고 생각한다
    ③ f′(a)로 답하게 됩니다. 사라지는 것은 h이지 h에 붙은 계수가 아닙니다. 계수는 극한 밖으로 나와 그대로 남습니다.
  • 고쳐 쓴 식이 원래 식과 같은지 확인하지 않는다
    분모를 바꿀 때는 반드시 같은 값을 밖에서 되돌려 곱해야 합니다. 변형한 식을 다시 정리해 원래 식으로 돌아오는지 한 번만 되짚으면 이 유형에서 틀릴 일이 없습니다.

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