쎈미적분1 0280

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쎈수학 미적분Ⅰ · 03 미분계수와 도함수

0280
대표 문제
유형 04 · 미분계수를 이용한 극한값의 계산
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쎈 미적분1 0280번 문제

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출제의도

분자에 f(1)을 끼워 넣어 미분계수 정의꼴 두 개로 쪼개라는 문제

f가 어떤 함수인지는 끝까지 나오지 않습니다. 주어진 정보는 f′(1)=−2 하나뿐이므로, 식을 f′(1)의 정의꼴로 바꾸는 것 말고는 할 수 있는 일이 없습니다. f(1−2h)와 f(1+3h) 사이에 기준점 f(1)을 만들어 주는 것, 그리고 분모를 증분에 맞춰 계수를 보정하는 것 — 이 두 가지가 전부입니다.

막혔을 때

힌트

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — 기준점 만들기
미분계수의 정의는 {f(1+■)−f(1)} / ■ 꼴입니다. 지금 분자에는 f(1)이 아예 없습니다.
분자에 −f(1)+f(1)을 슬쩍 넣어 두 덩어리로 나눠 보세요. 값은 그대로인데 모양이 정의꼴에 가까워집니다.
힌트 2 — 분모를 증분에 맞추기
{f(1−2h)−f(1)}의 증분은 −2h입니다. 정의꼴이 되려면 분모도 −2h여야 하므로, −2h로 나누고 대신 밖에 (−2)를 곱해 원래 식과 같게 유지합니다.
두 번째 덩어리 {f(1+3h)−f(1)}의 증분은 3h입니다. 같은 방식으로 처리하세요.
힌트 3 — 부호 관리
두 덩어리는 더하는 것이 아니라 빼는 것입니다. 정리하면 −2f′(1) − 3f′(1) = −5f′(1).
여기에 f′(1)=−2를 넣으세요. 음수 곱하기 음수라는 점만 조심하면 됩니다.

다 풀고 나서

해설과 풀이영상

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정답 10

쎈 미적분1 0280번 해설

더 빠른 길 — 계수차로 한 줄에 끝내기

f가 x=a에서 미분가능할 때 limh→0 {f(a+ph)−f(a+qh)} / h = (p−q)f′(a) 입니다.
이 문제는 a=1, p=−2, q=3이므로 (−2−3)f′(1) = −5·(−2) = 10. 유도 과정은 위 해설과 같지만, 꼴을 알아보면 계산 없이 답이 나옵니다. 단 미분가능이라는 전제가 있을 때만 쓸 수 있고, 서술형에서는 쪼개는 과정을 적어야 합니다.

덮기 직전에

실수를 줄이는 전략

  • f(1)을 끼워 넣지 않고 곧장 f′(1)로 바꾼다
    미분계수의 정의는 ‘같은 점에서의 함숫값 차’여야 성립합니다. f(1−2h)−f(1+3h)는 두 점이 모두 움직이므로 그대로는 정의꼴이 아닙니다.
  • 분모를 바꾸고 계수 보정을 빠뜨린다
    분모를 h에서 −2h, 3h로 바꿨으면 밖에 (−2), 3을 곱해 원래 식과 값이 같도록 맞춰야 합니다. 이 보정이 이 유형의 채점 포인트입니다.
  • 두 번째 항의 마이너스를 분배하지 않는다
    −{f(1+3h)−f(1)}이므로 결과는 −3f′(1)입니다. 부호를 흘리면 −2f′(1)+3f′(1)=f′(1)=−2가 되어 완전히 다른 답이 됩니다.
  • 마지막 −5·(−2)를 −10으로 적는다
    가장 많이 나오는 실수입니다. −5f′(1)까지 맞게 왔다면 f′(1)=−2를 대입한 뒤 부호를 소리 내어 한 번 확인하세요.
  • f(1)의 값을 구하려 든다
    f(1)은 두 덩어리에서 더해지고 빼지며 사라지는 값입니다. 문제가 주지 않은 값을 구하려 하고 있다면 방향이 잘못된 것입니다.

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