쎈미적분1 0209

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쎈수학 미적분Ⅰ · 02 함수의 연속

0209
난이도 중
합성함수와 최대·최소 정리
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쎈 미적분1 0209번 문제

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출제의도

합성하고 나면 분모가 0이 되는 자리가 어디로 옮겨가는지 묻는 문제

ㄱ, ㄴ, ㄷ을 한 줄로 정리하면 셋 다 유리식이고, 불연속이 되는 점은 각각 한 개뿐입니다. 그 점이 구간 [0, 4] 밖이면 최대·최소 정리를 그대로 쓰고, 안이면 쓸 수 없습니다. 합성 순서에 따라 그 점이 x=−2에서 x=1로 옮겨간다는 것이 이 문제의 전부입니다.

막혔을 때

힌트

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — 식을 정리하기 전에는 판단하지 않는다
f와 g를 따로 보면 둘 다 x=−2가 걸리는 것처럼 보입니다. 그러나 판정 대상은 f, g가 아니라 ㄱ, ㄴ, ㄷ 각각의 함수입니다.
세 개를 모두 하나의 식으로 정리해 적어 놓고 시작하세요.
힌트 2 — ㄱ과 ㄴ은 분모가 그대로다
ㄱ은 (x−3) + 1/(x+2), ㄴ은 f의 자리에 g를 넣어 1/(x+2) − 3입니다. 둘 다 분모가 x+2이므로 불연속점은 x=−2 하나.
−2는 구간 [0, 4] 안에 있나요, 밖에 있나요?
힌트 3 — ㄷ에서 자리가 옮겨간다
g(□)=1/(□+2)의 □에 f(x)=x−3을 넣으면 분모는 (x−3)+2 = x−1입니다. 불연속점이 −2에서 1로 이동했습니다.
1은 [0, 4] 한가운데입니다. 좌극한과 우극한이 각각 어디로 가는지까지 확인하면 근거가 완성됩니다.

다 풀고 나서

해설

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정답 ②  ㄱ, ㄴ

쎈 미적분1 0209번 해설

더 빠른 길 — 불연속점 세 개만 나열하기

ㄱ → x=−2, ㄴ → x=−2, ㄷ → x=1. 세 숫자만 옆에 적고 [0, 4]와 비교하면 됩니다. 구간 안으로 들어오는 것은 1 하나뿐이므로, 탈락하는 것도 ㄷ 하나입니다.
연속인 ㄱ, ㄴ에는 최대·최소 정리를 그대로 적용하면 되고 실제 최댓값을 구할 필요는 없습니다.

덮기 직전에

실수를 줄이는 전략

  • f(g(x))와 g(f(x))를 반대로 계산한다
    바깥 함수의 x자리에 안쪽 함수를 통째로 넣습니다. f(g(x))는 f의 x자리에 1/(x+2)를, g(f(x))는 g의 x자리에 x−3을 넣습니다. 이 문제는 두 결과가 완전히 달라지므로 순서 하나로 답이 바뀝니다.
  • ㄷ의 분모를 정리하지 않고 판단한다
    (x−3)+2를 그대로 두면 x=−2가 걸린 것처럼 보입니다. x−1로 정리해야 불연속점이 x=1임이 보입니다.
  • 불연속점 x=−2를 이유로 ㄱ, ㄴ을 탈락시킨다
    −2는 구간 [0, 4] 밖입니다. 판정 기준은 “정의역이 실수 전체인가”가 아니라 “주어진 구간에서 연속인가”입니다.
  • “불연속이니까 최댓값·최솟값이 없다”로 끝낸다
    불연속이어도 최댓값·최솟값을 갖는 함수는 얼마든지 있습니다. ㄷ이 탈락하는 근거는 x=1의 좌우에서 각각 −∞, ∞로 발산한다는 사실입니다. 서술형에서는 이 문장이 있어야 점수가 됩니다.
  • “모두 갖는 것”이라는 조건을 흘려 읽는다
    최댓값만 갖거나 최솟값만 갖는 경우는 답이 아닙니다. 보기를 고를 때 두 값 모두를 확인했는지 다시 보세요.

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