쎈미적분1 0208

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쎈수학 미적분Ⅰ · 02 함수의 연속

0208
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쎈 미적분1 0208번 문제

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출제의도

구간이 닫혀 있는가, 그 구간에서 연속인가 — 두 조건을 하나씩 지우는 문제

최대·최소 정리의 조건은 딱 두 개입니다. ⑴ 닫힌구간일 것, ⑵ 그 구간 전체에서 연속일 것. 다섯 개의 선택지는 이 두 조건 중 하나씩을 일부러 깨뜨려 두었습니다. 최댓값이 얼마인지 계산할 필요는 전혀 없고, 조건이 깨진 자리만 찾으면 끝나는 문제입니다.

막혔을 때

힌트

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — 괄호 모양부터 본다
함수식보다 구간 표기를 먼저 보세요. ①과 ⑤는 소괄호, 즉 열린구간입니다.
열린구간에서 계속 증가하기만 하는 함수는 양 끝의 값에 닿지 못합니다. 두 함수의 증가·감소를 확인해 보세요.
힌트 2 — 남은 셋은 불연속점 찾기
②③④는 닫힌구간이므로 이제 볼 것은 연속뿐입니다. 각 함수가 정의되지 않거나 불연속이 되는 x를 하나씩 적어 보세요.
② 분모 x+4=0, ③ 로그의 진수 x−3>0, ④ 분모 x+1=0. 세 개의 x가 나옵니다.
힌트 3 — 그 점이 구간 안인가 밖인가
②의 x=−4는 구간 [−2, 2] 밖입니다. 그래서 ②는 구간 전체에서 연속입니다.
③의 x=3은 [3, 5]의 왼쪽 끝점, ④의 x=−1은 [−5, 1]의 내부입니다. 끝점에서 깨져도 정리는 쓸 수 없습니다.
③은 x=5에서 최댓값 log 2를 갖지만, 문제가 물은 것은 최댓값과 최솟값을 모두 갖는 함수입니다.

다 풀고 나서

해설

정답·해설 펼치기

정답 ②

쎈 미적분1 0208번 해설 1
쎈 미적분1 0208번 해설 2

더 빠른 길 — 판정 순서를 뒤집기

함수 다섯 개를 순서대로 검토하지 말고, 먼저 구간 표기만 훑어 열린구간(①⑤)을 후보에서 내립니다. 남은 ②③④는 “분모가 0이 되는 x, 진수가 0이 되는 x”만 하나씩 적어 구간과 비교합니다.
그 점이 구간 밖에 있는 것은 ②뿐입니다. 함숫값 계산은 한 번도 하지 않습니다.

덮기 직전에

실수를 줄이는 전략

  • 닫힌구간이면 무조건 최댓값·최솟값이 있다고 본다
    조건은 두 개입니다. 닫힌구간이어도 그 안에 불연속점이 있으면 정리는 적용되지 않습니다. ④가 정확히 그 경우입니다.
  • 열린구간이면 무조건 없다고 단정한다
    열린구간에서도 내부에 극대·극소가 있으면 최댓값·최솟값을 가질 수 있습니다. ①⑤가 탈락하는 진짜 이유는 “열린구간”이 아니라 “열린구간에서 계속 증가한다”입니다. 서술형에서는 이 근거를 써야 합니다.
  • ③에서 최댓값이 있으니 답이라고 고른다
    ③은 x=5에서 최댓값 log 2를 갖습니다. 하지만 x→3+에서 −∞로 발산해 최솟값이 없습니다. 문제의 조건은 “모두”입니다.
  • ②를 분수식이라는 이유만으로 제외한다
    불연속이 되는 점은 x=−4 하나뿐이고, 이 점은 구간 [−2, 2] 밖에 있습니다. 구간 안에서는 완전히 연속인 함수입니다.
  • ④의 x=−1이 구간 안이라는 것을 놓친다
    [−5, 1]의 오른쪽 끝점 1과 헷갈리기 쉽습니다. −1은 구간 한가운데에 있고, 좌우 극한이 각각 −∞, ∞이므로 최댓값·최솟값 모두 없습니다.

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