쎈수학 미적분Ⅰ · 02 함수의 연속
0207
난이도 하
최대·최소 정리
풀이영상 있음
난이도 하
최대·최소 정리
풀이영상 있음
먼저 보고 싶다면
풀이영상
문제를 읽자마자
출제의도
닫힌구간이면 최댓값이 있다 — 이 문장이 연속일 때만 참임을 확인시키는 문제
“최댓값 또는 최솟값을 가지면”이라는 조건부 표현이 출제의도를 그대로 드러냅니다. 최대·최소 정리는 닫힌구간 + 연속 두 조건이 모두 갖춰져야 작동하는데, 이 함수는 하필 꼭짓점 x=1에서만 값을 따로 정의해 연속을 깨뜨렸습니다. 그래프를 그려 도달 가능한 값과 도달 못 하는 값을 구분하는 것이 전부입니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 정리의 조건부터
최대·최소 정리는 닫힌구간에서 연속일 때 최댓값과 최솟값이 모두 존재한다고 말합니다.
이 함수는 구간 [−1, 2]로 닫혀 있지만, 나머지 조건 하나가 성립하나요? x=1을 따로 정의한 이유를 생각해 보세요.
이 함수는 구간 [−1, 2]로 닫혀 있지만, 나머지 조건 하나가 성립하나요? x=1을 따로 정의한 이유를 생각해 보세요.
힌트 2 — 하필 그 자리
x≠1일 때 f(x)=−x²+2x+2=−(x−1)²+3. 포물선의 꼭짓점이 정확히 x=1, 값은 3입니다.
그런데 x=1에서의 실제 함숫값은 2로 정해져 있습니다. 그래프에서 (1, 3)은 뚫린 점, (1, 2)는 찍힌 점입니다.
그런데 x=1에서의 실제 함숫값은 2로 정해져 있습니다. 그래프에서 (1, 3)은 뚫린 점, (1, 2)는 찍힌 점입니다.
힌트 3 — 양 끝값을 계산하고 비교
f(−1)=−1, f(2)=2, f(1)=2입니다. 이 중 가장 작은 값은 실제로 도달하므로 최솟값이 됩니다.
반면 위쪽으로는 3에 한없이 가까워지지만 3을 값으로 갖는 x가 없습니다. 이럴 때 “최댓값”이라고 부를 수 있을까요?
반면 위쪽으로는 3에 한없이 가까워지지만 3을 값으로 갖는 x가 없습니다. 이럴 때 “최댓값”이라고 부를 수 있을까요?
다 풀고 나서
해설
정답·해설 펼치기
정답 최솟값 −1, 최댓값 없음
치역으로 보면 더 선명하다
x∈[−1, 2], x≠1에서 −(x−1)²+3이 갖는 값은 −1 이상 3 미만이고, 여기에 f(1)=2가 더해집니다. 즉 치역은 [−1, 3).
구간의 왼쪽 끝 −1은 포함되므로 최솟값이 되고, 오른쪽 끝 3은 포함되지 않으므로 최댓값이 존재하지 않습니다. “최댓값이 없다”는 곧 치역이 위쪽에서 열려 있다는 뜻입니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
꼭짓점 값 3을 그대로 최댓값으로 적는다
x=1은 정의가 따로 되어 있어 −(x−1)²+3 식이 적용되지 않습니다. 3은 어떤 x에서도 나오지 않는 값입니다. -
닫힌구간이니 최댓값·최솟값이 당연히 있다고 본다
최대·최소 정리는 연속이 전제입니다. 구간 기호만 보고 정리를 적용하면 이 문제처럼 반례에 걸립니다. -
f(1)=2를 무시하고 계산한다
x=1에서의 값 2는 최솟값 판정에는 영향이 없지만, 치역을 정확히 쓰거나 그래프를 그릴 때 반드시 찍어야 하는 점입니다. -
x=−1이 구간에 포함되는지 확인하지 않는다
[−1, 2]는 양 끝이 모두 포함된 닫힌구간이므로 f(−1)=−1이 실제 값으로 존재합니다. 열린구간이었다면 최솟값도 없습니다. -
“최댓값은 3에 가깝다” 식으로 답한다
극한값과 최댓값은 다릅니다. 실제로 도달하는 값만 최댓값이 될 수 있으므로 답은 “없다”라고 명확히 써야 합니다.