쎈미적분1 0205

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쎈수학 미적분Ⅰ · 02 함수의 연속

0205
난이도 상
서술형
불연속점과 미정계수
풀이영상 있음

쎈 미적분1 0205번 문제

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문제를 읽자마자

출제의도

불연속이라는 말을 분모의 근으로 번역하면, 나머지는 0/0 극한 한 줄

조건 (가)는 f(x)의 그래프에 대한 정보가 아니라 f(−1)=0, f(2)=0이라는 두 개의 근 정보입니다. 이차함수는 근 두 개가 정해지면 f(x)=a(x+1)(x−2) 꼴로 상수 하나만 남고, 그 상수는 조건 (나)가 결정합니다. 미정계수를 몇 개 남길지 설계하는 것이 이 문제의 핵심입니다.

막혔을 때

힌트

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — 불연속의 정체
x/f(x)는 분자·분모가 모두 다항식이므로, 분모가 0이 되는 곳에서만 정의되지 않아 불연속이 됩니다.
x=−1, x=2에서 불연속이라는 말은 f에 대해 무엇을 알려 주나요?
힌트 2 — 이차함수를 세우는 방법
f(−1)=0, f(2)=0이고 f는 이차함수입니다. 근이 −1과 2로 이미 다 채워졌으므로
f(x)=a(x+1)(x−2) (a≠0)로 놓을 수 있습니다. 미정계수는 a 하나뿐입니다. f(x)=ax²+bx+c로 시작하면 미지수 세 개를 헛돌게 됩니다.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
조건 (나)에 대입하면 분자에 (x+1)이 들어 있으니 약분됩니다. 남는 식은 a(x−2)이고 x→−1을 넣으면 −3a.
−3a=9에서 a를 구한 뒤, 물어본 것이 a가 아니라 f(3)이라는 걸 다시 확인하세요.

다 풀고 나서

해설

정답·해설 펼치기

정답 f(3) = −12

쎈 미적분1 0205번 해설 1
쎈 미적분1 0205번 해설 2

서술형 채점 포인트 — 배점이 붙는 세 줄

① f(−1)=0, f(2)=0을 찾아 f(x)=a(x+1)(x−2)로 나타내기 (30%)
② 조건 (나)에 대입해 −3a=9에서 a=−3, 즉 f(x)=−3(x+1)(x−2)를 구하기 (50%)
③ f(3)=−3·4·1=−12 계산하기 (20%)
①에서 “이차함수이므로 근은 −1, 2뿐”이라는 근거를 한 줄 적어야 감점이 없습니다.

덮기 직전에

실수를 줄이는 전략

  • f(x)=ax²+bx+c로 시작한다
    미지수 세 개에 조건은 세 개라 풀리기는 하지만 계산량이 몇 배입니다. 근을 알면 인수분해 꼴로 세우는 것이 정석입니다.
  • a≠0을 쓰지 않는다
    이차함수라는 조건이 곧 a≠0입니다. 서술형에서 f(x)=a(x+1)(x−2)를 세울 때 괄호로 함께 적어 두세요.
  • −3a=9에서 a=3으로 잘못 넘긴다
    부호 하나가 f(3)의 부호를 통째로 뒤집습니다. a=−3, f(x)=−3(x+1)(x−2)를 한 줄 더 써서 확인하세요.
  • a까지 구하고 답으로 적는다
    문제가 요구한 값은 f(3)입니다. f(x)를 완성한 뒤 x=3을 대입하는 마지막 계산을 빠뜨리지 마세요.
  • 조건 (나)를 극한 없이 대입한다
    x=−1에서는 분모와 분자가 모두 0인 0/0 꼴입니다. 대입이 아니라 (x+1)을 약분한 뒤 극한을 취하는 과정이 필요합니다.

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