쎈수학 미적분Ⅰ · 02 함수의 연속
0204
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함수의 몫의 연속
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출제의도
분모가 불연속인데도 몫이 연속이려면, 분자가 그 자리를 0으로 덮어야 한다
f(x)는 x=2에서 좌극한 2, 우극한 3으로 명백히 불연속입니다. 그런데도 g(x)/f(x)가 실수 전체에서 연속이 되게 하라고 합니다. 확인할 것은 두 가지뿐입니다. 분모가 0이 되는 x가 있는가, 그리고 유일한 위험 지점인 x=2에서 좌극한·우극한·함숫값이 일치하는가.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 분모부터 점검
분수 함수는 분모가 0인 곳과 분모가 불연속인 곳 두 군데만 의심하면 됩니다.
x<2에서 x²−4x+6=(x−2)²+2, x≥2에서 3. 이 값들이 0이 될 수 있나요? 답이 “없다”라면, 남은 위험 지점은 딱 한 곳입니다.
x<2에서 x²−4x+6=(x−2)²+2, x≥2에서 3. 이 값들이 0이 될 수 있나요? 답이 “없다”라면, 남은 위험 지점은 딱 한 곳입니다.
힌트 2 — x=2에서 세 값을 따로 써라
g는 다항함수라 어디서나 연속입니다. 그러니 x=2에서만 조건을 세우면 됩니다.
함숫값 g(2)/f(2)=(2a+1)/3, 우극한도 (2a+1)/3, 좌극한은 분모에 x²−4x+6을 넣어 (2a+1)/2.
세 값이 같아야 한다는 식을 그대로 적어 보세요.
함숫값 g(2)/f(2)=(2a+1)/3, 우극한도 (2a+1)/3, 좌극한은 분모에 x²−4x+6을 넣어 (2a+1)/2.
세 값이 같아야 한다는 식을 그대로 적어 보세요.
힌트 3 — 약분하지 말 것
(2a+1)/3=(2a+1)/2를 보고 “3=2라 해가 없다”로 끝내면 안 됩니다.
양변에 공통으로 들어 있는 2a+1이 0이면 두 값은 0으로 같아집니다. 이 경우가 바로 답입니다.
양변에 공통으로 들어 있는 2a+1이 0이면 두 값은 0으로 같아집니다. 이 경우가 바로 답입니다.
다 풀고 나서
해설
정답·해설 펼치기
정답 a = −1/2
더 빠른 길 — 분자가 불연속을 지운다
f는 x=2에서 좌우 극한이 2와 3으로 다릅니다. 이 차이가 몫에서 사라지려면 분자 g(2)가 0이어야 합니다. 2a+1=0에서 곧바로 a=−1/2.
검산: a=−1/2이면 g(x)=−(x−2)/2이므로 x<2에서 g/f=−(x−2)/{2(x−2)²+4}, x≥2에서 −(x−2)/6. x→2에서 양쪽 모두 0이고 함숫값도 0입니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
f가 불연속이니 g/f도 당연히 불연속이라고 단정한다
분모의 불연속은 분자가 0이 되면 몫에서 사라질 수 있습니다. “불연속 함수로 나눴으니 끝”이 아니라 그 점에서 조건을 세워야 합니다. -
분모가 0이 되는 x를 확인하지 않는다
(x−2)²+2>0, 3>0을 먼저 적어 두어야 정의역이 실수 전체임이 보장됩니다. 이 줄이 빠지면 서술형에서 논리가 끊깁니다. -
좌극한 계산에 f(2)=3을 대입한다
x→2⁻는 x<2 구간이므로 분모는 x²−4x+6입니다. 좌극한 분모는 2, 우극한과 함숫값 분모는 3으로 서로 다릅니다. -
(2a+1)/3=(2a+1)/2를 약분해 “해 없음”으로 처리한다
공통인수 2a+1로 나누려면 2a+1≠0이라는 전제가 필요합니다. 그 전제가 깨지는 2a+1=0이 바로 이 문제의 답입니다. -
극한만 맞추고 함숫값을 빠뜨린다
연속의 정의는 좌극한=우극한=함숫값 세 개가 모두 같아야 성립합니다. x=2에서 g(2)/f(2)까지 반드시 적으세요.