쎈미적분1 0203

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쎈수학 미적분Ⅰ · 02 함수의 극한과 연속

0203
난이도 중
유리함수의 연속과 판별식
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문제 풀기 전에

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두 함수 f(x) = x2 − ax + 3a, g(x) = 2x2 + ax + 4에 대하여 두 함수 f(x)/g(x), g(x)/f(x)가 모두 실수 전체의 집합에서 연속이 되도록 하는 자연수 a의 개수를 구하시오.

문제를 읽자마자

출제의도

“연속” 조건을 판별식 < 0 두 개로 번역하라는 문제

연속을 묻고 있지만 실제로 계산하는 것은 이차부등식입니다. f/g와 g/f가 둘 다 실수 전체에서 연속이려면 어느 실수 x에서도 두 분모가 0이 되면 안 되고, 이는 곧 두 이차방정식이 실근을 갖지 않는다는 뜻입니다. 마지막에 답을 세는 단위가 자연수라는 점까지가 출제 범위입니다.

막혔을 때

힌트

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — 조건을 식으로 번역하기
f, g는 다항함수라 그 자체로는 항상 연속입니다. 걸리는 것은 나눗셈뿐입니다.
f/g가 실수 전체에서 연속 ⟹ 모든 실수 x에서 g(x)≠0. g/f도 마찬가지로 f(x)≠0.
두 조건이 동시에 필요하다는 점을 놓치지 마세요.
힌트 2 — 실근이 없다 = 판별식 < 0
이차식이 어떤 실수 x에서도 0이 되지 않는다는 것은 실근이 존재하지 않는다는 뜻이고, 곧 판별식이 음수라는 뜻입니다. 중근도 0이 되는 x가 하나 생기므로 허용되지 않습니다.
D1 = a² − 12a < 0, D2 = a² − 32 < 0. D2에서 4·2·4 = 32를 정확히 계산하세요.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
a(a−12)<0에서 0 < a < 12, a²−32<0에서 −4√2 < a < 4√2.
두 범위의 공통부분은 0 < a < 4√2이고, 4√2 ≈ 5.65입니다. 이제 이 안에 들어가는 자연수를 직접 적어 보세요. 6은 들어갈까요?

다 풀고 나서

해설과 풀이영상

정답·해설 펼치기

정답 5  (a = 1, 2, 3, 4, 5)

쎈 미적분1 0203번 해설

범위를 좁히는 요령 — 강한 조건부터 본다

a가 자연수라는 조건이 이미 주어져 있으므로 a > 0은 확보된 셈입니다. 그러면 D1이 주는 정보는 사실상 a < 12뿐이고, 실제로 답을 결정하는 것은 더 좁은 a < 4√2 ≈ 5.65입니다.
시험장에서는 두 범위를 다 구한 뒤 좁은 쪽만 세면 되지만, 서술형 답안에서는 두 판별식을 모두 쓰고 공통범위를 명시해야 만점입니다.

덮기 직전에

실수를 줄이는 전략

  • 판별식을 D ≤ 0으로 잡는다
    중근이면 그 x에서 분모가 0이 되어 함수가 정의되지 않습니다. 등호는 절대 들어갈 수 없습니다. 부등호 하나로 답이 5개에서 6개로 바뀝니다.
  • 분모 하나만 확인하고 끝낸다
    f/g와 g/f 두 개가 주어진 이유가 바로 이것입니다. f, g가 번갈아 분모가 되므로 두 이차식 모두 실근이 없어야 합니다.
  • g(x)=2x²+ax+4의 판별식에서 4ac를 잘못 센다
    a²−4·2·4 = a²−32입니다. 앞의 계수 2를 빠뜨려 a²−16으로 두면 범위가 −4<a<4가 되어 답이 3개로 나옵니다.
  • 4√2를 어림하지 않고 넘어간다
    √2≈1.414이므로 4√2≈5.65입니다. 5.65보다 작은 자연수는 5까지입니다. 6을 포함시키는 답이 가장 흔한 오답입니다.
  • 자연수인지 정수인지 헷갈린다
    정수였다면 음수 쪽 범위도 세야 했겠지만, 자연수이므로 1부터 셉니다. 0은 자연수가 아니고 D1 조건에서도 제외됩니다.


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