쎈 미적분Ⅰ · 02 함수의 연속
중
서술형
(x−a)f(x) 꼴의 미정계수
풀이영상
출제의도
f(x)가 직접 주어지지 않고 (x−2)f(x)=a√(x−1)+b라는 곱의 형태로만 주어진 문제입니다. x≠2에서는 양변을 x−2로 나눠 f(x)를 분수식으로 만들 수 있지만, 정작 궁금한 x=2에서는 그렇게 할 수 없습니다.
그래서 연결 고리가 연속의 정의 lim f(x)=f(2)입니다. 분모가 0으로 가는데 극한값이 1로 존재한다면, 분자도 반드시 0으로 가야 합니다. 이 한 줄이 a+b=0을 만들고, 남은 극한 계산이 a의 값을 만듭니다.
즉 조건 두 개(분자→0, 극한값=1)로 미지수 두 개를 잡는 구조입니다. 근호가 있으니 극한 계산은 유리화로 처리합니다.
힌트
1f(x)의 식부터 만드세요
x≠2이면 양변을 x−2로 나눌 수 있습니다.
f(x) = (a√(x−1)+b) / (x−2) (x≥1, x≠2)
구해야 할 것은 이 함수가 x=2에서 연속이 되게 하는 a, b입니다. 연속의 정의를 그대로 쓰면 limx→2 f(x) = f(2) = 1입니다.
2분모가 0인데 극한이 존재한다면?
x→2일 때 (분모)→0인데 극한값 1이 존재합니다. 이때 (분자)도 반드시 0으로 가야 합니다. 분자가 0이 아닌 값으로 간다면 전체는 발산해 버리기 때문입니다.
limx→2(a√(x−1)+b) = a+b = 0 이므로 b = −a.
같은 식을 원식에 x=2를 대입해서 얻어도 됩니다. (2−2)·f(2) = 0 = a√1+b.
3남은 극한은 유리화로
b=−a를 넣으면 분자가 a(√(x−1)−1)이 됩니다. √(x−1)+1을 분자·분모에 곱하면
a(x−2) / {(x−2)(√(x−1)+1)} = a / (√(x−1)+1)
x→2를 넣어 a/2. 이 값이 1이어야 하므로 a=2, 따라서 b=−2입니다. 마지막으로 묻는 것은 a²+b²입니다.
해설
손글씨 해설 펼쳐 보기 ▾
답만 8이라고 적으면 10%입니다. a, b를 실제로 구하는 과정에 40%, 그 앞의 두 단계에 50%가 걸려 있습니다. 유리화 계산을 통째로 생략하지 마세요.
| 채점 기준 | 비율 |
|---|---|
| 연속의 정의로 극한값이 1임을 세운다 | 30% |
| b를 a에 대한 식으로 나타낸다 | 20% |
| a, b의 값을 구한다 | 40% |
| a²+b²의 값을 구한다 | 10% |
√(x−1)=t로 두면 x=t²+1, x−2=t²−1=(t−1)(t+1)이고 x→2는 t→1입니다.
분자 a·t−a = a(t−1)이므로 식은 a(t−1)/{(t−1)(t+1)} = a/(t+1) → a/2.
근호가 사라져 인수분해만으로 약분되므로, 유리화보다 계산 실수가 적습니다. 같은 꼴이 반복 출제되니 이 치환을 손에 익혀 두세요.
실수를 줄이는 전략
-
a+b=0 하나만 얻고 멈춘다
원식에 x=2를 대입하면 0=a+b가 바로 나오지만, 미지수는 둘입니다. f(2)=1이라는 조건은 아직 한 번도 쓰지 않았다는 점을 기억하세요. 두 번째 식은 반드시 극한 계산에서 나옵니다. -
분자를 유리화하지 않고 그냥 대입한다
b=−a를 넣은 순간 0/0 꼴입니다. 약분이 되도록 만드는 작업(유리화 또는 √(x−1)=t 치환)을 거치기 전에는 어떤 값도 대입할 수 없습니다. -
유리화할 때 분모에만 곱한다
√(x−1)+1은 분자·분모 양쪽에 곱해야 값이 보존됩니다. 한쪽에만 곱하면 a/2가 아니라 a가 나와 a=1, b=−1, 답 2라는 오답으로 이어집니다. -
정의역 x≥1을 잊고 x→1에서도 따진다
문제가 연속을 요구하는 곳은 분모가 0이 되는 x=2뿐입니다. x=1은 정의역의 왼쪽 끝이라 오른쪽에서만 다가가면 되고, 여기서는 아무 조건도 나오지 않습니다. -
a²+b² 대신 a+b나 ab를 답한다
a=2, b=−2라 합은 0, 곱은 −4, 제곱의 합은 8입니다. 부호가 반대인 값이 나왔을 때 특히 헷갈립니다. 답을 쓰기 전에 문제의 마지막 문장을 다시 읽으세요.