0103번 – A³−8B³ 세제곱 차에서
x⁵, x⁴ 계수 구하기
A−2B=x³ 발견이 핵심! 세제곱 차 인수분해로 정복!
이 포스팅에 포함된 것들
- 풀이 영상 2개 (유튜브)
- 해설 이미지 (쎈 답지)
- 문제 분석 & 핵심 단서 찾기
- 단계별 상세 풀이
- 자주 틀리는 실수 & 꿀팁
- 외워두면 좋은 패턴 정리
- 시간 관리 전략
- 관련 개념·연산·마플시너지 링크
🎬 풀이 영상
두 가지 풀이 영상을 준비했어요. 다른 접근법도 함께 확인해 보세요!
🔍 문제 분석
[문제 요약] – 사고력 기출 🧠
두 다항식 A = x³+2x²+4x+6, B = x²+2x+3에 대하여
A³−8B³을 계산한 식에서 x⁵의 계수를 p, x⁴의 계수를 q라 할 때,
p+q의 값을 구하시오.
※ 난이도: ★★★ (상) · 13쪽 유형 02 + 14쪽 유형 05 · 답: 264
① A와 B의 관계를 발견하는 것이 최우선!
② A = x³ + 2x² + 4x + 6 = x³ + 2(x²+2x+3) = x³ + 2B
③ 따라서 A − 2B = x³ → 핵심 관계!
④ A³−8B³ = A³−(2B)³ → 세제곱 차 인수분해!
⑤ (A−2B)(A²+2AB+4B²) = x³(A²+2AB+4B²)
💡 핵심: A=x³+2B 관계를 찾으면 9차식을 직접 전개하지 않아도 돼요!
📝 단계별 상세 풀이
A와 B의 관계 발견
A = x³ + 2x² + 4x + 6
= x³ + 2(x² + 2x + 3)
= x³ + 2B
∴ A − 2B = x³
💡 B의 각 항에 2를 곱하면 2x²+4x+6 → A에서 x³을 뺀 부분과 정확히 일치!
세제곱 차 인수분해
A³ − 8B³ = A³ − (2B)³
= (A−2B)(A² + 2AB + 4B²)
= x³ · (A² + 2AB + 4B²)
💡 a³−b³ = (a−b)(a²+ab+b²)에서 a=A, b=2B!
x⁵, x⁴ 계수만 뽑아내기
결과 = x³ · (A² + 2AB + 4B²)
x⁵항을 만들려면: x³ × (x²항) → A²+2AB+4B²에서 x²의 계수만 필요!
x⁴항을 만들려면: x³ × (x항) → A²+2AB+4B²에서 x의 계수만 필요!
A²+2AB+4B²에서 x², x 계수 구하기
여기서 핵심 트릭: x⁵, x⁴ 계수만 필요하므로
A²+2AB+4B²에서 x², x 계수만 추적합니다.
이때 x²항, x⁴항은 12x²B²에서만 존재
B = x²+2x+3 이므로 B² = x⁴+4x³+10x²+12x+9
A² + 2AB + 4B² 에서 x²항과 x항:
x² 계수 (=p 기여):
A²의 x² 계수: 2·6+4²=28 (x³·6의 교차항 + 4x의 제곱 등)
실제로 전체 계산하면:
A² + 2AB + 4B²에서 x²의 계수 = 120
A² + 2AB + 4B²에서 x의 계수 = 144
따라서:
p (x⁵의 계수) = 120
q (x⁴의 계수) = 144
최종 답 계산
p + q = 120 + 144 = 264
A = x³+2B 라는 관계를 발견하면, 9차식을 직접 전개하는 대신 세제곱 차 인수분해로 깔끔하게 풀 수 있어요. 다항식 사이의 관계를 먼저 찾는 습관이 중요합니다!
⚠️ 자주 틀리는 실수
A와 B의 관계를 발견하지 못하고 직접 전개하려는 실수!
A³ = (x³+2x²+4x+6)³을 직접 전개하면 9차식! 시간도 오래 걸리고 실수도 많아요.
반드시 A = x³+2B 관계를 먼저 찾으세요!
a³−b³ 인수분해 부호 실수!
a³−b³ = (a−b)(a²+ab+b²) ✅ (가운데 부호 +!)
a³−b³ = (a−b)(a²−ab+b²) ❌
→ 뺄셈(−)의 인수분해에서 괄호 안은 (+, +)!
8B³ = (2B)³ 임을 놓치는 실수!
8B³ = (2B)³ → a³−b³에서 b=2B ✅
8을 따로 두고 B³만 인수분해하면 ❌
🧠 외워두면 좋은 패턴
A³−8B³ 같은 식이 나오면:
1단계: A와 B 사이의 관계(A−2B, A+B 등)를 먼저 찾기
2단계: 관계가 간단한 식(x³ 등)이면 인수분해 활용!
3단계: 필요한 계수만 뽑아내기
→ 뺄셈(−)은 괄호 안 (+,+), 덧셈(+)은 괄호 안 (−,+)!
x³ × (다항식)에서 x⁵의 계수를 구하려면:
→ (다항식)에서 x²의 계수만 뽑으면 돼요!
x³ × x² = x⁵이니까요.
⏱️ 시간 관리 전략
| 시험 유형 | 처음 풀 때 | 익숙해진 후 | 목표 시간 |
|---|---|---|---|
| 내신 시험 | 7~8분 | 3~4분 | 3분 |
| 수능/모의고사 | 5~6분 | 3분 | 2분 30초 |
① A=x³+2B 관계를 1분 안에 발견!
B에 2를 곱해서 A와 비교하는 습관을 들이세요.
② 필요한 계수만 추적!
전체를 전개하지 말고 x²항, x항만 골라서 계산하세요.
📸 해설 이미지
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