✨ 핵심만정리

신뢰구간의 길이는 추정의 ‘정밀도’를 의미하며, 그 길이는 아래 공식으로 결정돼요.

• 신뢰도가 높아질수록(95%→99%) → 구간의 길이는 **길어진다.**
• 표본의 크기(n)가 커질수록 → 구간의 길이는 **짧아진다.**

🎨 개념정리: 신뢰구간의 길이를 결정하는 두 요소

안녕하세요, 수학포스팅입니다! 지난 시간에 배운 신뢰구간, 기억나죠? 이 신뢰구간의 ‘길이’는 추정의 ‘정밀도’를 의미해요. 구간의 길이가 짧을수록 더 정밀하게 예측했다는 뜻이죠. 오늘은 이 신뢰구간의 길이를 결정하는 두 가지 핵심 요소, **신뢰도**와 **표본의 크기**에 대해 알아볼게요.

신뢰구간의 길이 공식

신뢰구간은 `[표본평균 – 오차, 표본평균 + 오차]` 형태였어요. 따라서 구간의 길이는 (오른쪽 끝) – (왼쪽 끝) = `2 × 오차`가 됩니다. 오차는 `k × (σ/√n)` 였으므로, 최종 공식은 **`2 × k × (σ/√n)`** 이 됩니다.

1. 신뢰도 vs 구간 길이 (확신과 정밀도의 맞교환)

신뢰도를 높이면(95% → 99%) ‘이 구간 안에 진짜 평균이 있을 거야!’라는 확신은 커지지만, k값이 커져서(1.96 → 2.58) 구간의 길이는 더 길어져요. 즉, **확신(신뢰도)을 얻는 대신 정밀도(짧은 구간)를 잃는 셈**이죠. “대한민국 남성 평균 키는 1m에서 2m 사이”라고 말하면 100% 확실하지만, 별로 유용한 정보는 아닌 것과 같아요.

2. 표본 크기 vs 구간 길이 (데이터는 많을수록 좋다)

신뢰도를 고정한 상태에서, 표본의 크기(n)를 늘리면 어떻게 될까요? 공식에서 n이 분모에 있으므로, **n이 커질수록 신뢰구간의 길이는 짧아져요.** 즉, 더 많은 데이터를 가지고 추정할수록 더 정밀하고 좁은 범위로 예측할 수 있다는, 아주 상식적인 결론이 나온답니다.

👀 개념확인 문제 풀어보기!

문제: 모표준편차(σ)가 10으로 일정한 어떤 모집단에서 모평균을 추정하려고 한다. 아래 보기 중 신뢰구간의 길이가 가장 짧은 경우는?

1. 신뢰도 95%, 표본 크기 100
2. 신뢰도 99%, 표본 크기 100
3. 신뢰도 95%, 표본 크기 400
4. 신뢰도 99%, 표본 크기 400

풀이:

신뢰구간의 길이가 **짧아지려면**, 확신을 조금 낮추고(신뢰도 감소), 데이터를 많이 뽑아야(표본 크기 증가) 해요.

따라서 신뢰도는 99%보다 낮은 **95%** 중에서, 표본 크기는 100보다 큰 **400**을 선택하면 됩니다. 정답은 **3번**입니다.

💡 참고: 비용과 정밀도의 줄다리기

결국 통계적 추정은 ‘비용’과 ‘정밀도’ 사이의 줄다리기예요. 표본의 크기(n)를 4배로 늘리면, 구간의 길이는 √4 = 2배로 짧아져서 더 정밀한 결과를 얻을 수 있어요. 하지만 표본조사에 드는 비용은 4배로 늘어나겠죠. 그래서 통계학자들은 주어진 비용 안에서 원하는 수준의 정밀도를 얻기 위해 최적의 표본 크기를 계산하기도 한답니다.