✨ 핵심만정리

모평균의 추정이란, 표본평균(x̄)을 이용하여 우리가 알지 못하는 진짜 모평균(m)이 존재할 것이라 예상되는 **구간**을 찾는 과정이에요. 이 구간을 **신뢰구간**이라고 합니다.

🎨 개념정리: 신뢰구간과 신뢰도의 의미

안녕하세요, 수학포스팅입니다! 여론조사 결과를 발표할 때 ‘신뢰도 95%에 오차범위 ±3%p’라는 말을 들어본 적 있죠? 이것이 바로 오늘 배울 **모평균의 추정**이에요. 우리가 뽑은 표본의 평균(표본평균)을 가지고, 진짜 전체 평균(모평균)이 어디쯤 있을지 ‘구간’으로 예측하는 거랍니다.

1. 왜 점이 아닌 구간으로 추정할까?

표본평균은 뽑을 때마다 달라지기 때문에, 우리가 구한 표본평균 하나가 진짜 모평균과 정확히 같을 확률은 거의 0에 가까워요. 그래서 ‘모평균은 70점이다!’라고 한 점으로 찍는 대신, ‘모평균은 67점과 73점 사이에 있을 거야’라고 구간으로 말하는 것이 훨씬 안전하고 합리적이죠. 이 구간을 **신뢰구간**이라고 불러요.

2. 신뢰도란 무엇일까?

**신뢰도 95%**라는 말의 진짜 의미는, ‘우리가 같은 방식으로 표본을 100번 뽑아서 100개의 신뢰구간을 만들었을 때, 그중 95개 정도는 진짜 모평균 m을 포함하고 있을 것이다’라는 뜻이에요. 지금 내가 만든 이 하나의 구간이 맞을 확률이 95%라는 뜻은 아니랍니다! (조금 어렵지만 중요한 차이예요!)

3. 신뢰구간 공식의 구조

신뢰구간 공식 `x̄ ± k × (σ/√n)`은 표본평균 x̄를 중심으로 좌우 대칭인 구간을 만들어요.

• x̄ (표본평균): 추정의 중심이 되는 값.
• k (신뢰상수): 신뢰도를 결정하는 값. 표준정규분포에서 95%는 1.96, 99%는 2.58을 사용해요.
• σ/√n (표준오차): 표본평균들이 흩어진 정도.

👀 개념확인 문제 풀어보기!

문제: 표준편차(σ)가 4인 정규분포를 따르는 모집단에서 크기가 64(n)인 표본을 임의추출하여 구한 표본평균(x̄)이 32일 때, 모평균 m에 대한 신뢰도 95%의 신뢰구간을 구하시오. (단, P(|Z|≤1.96)=0.95로 계산한다.)

풀이:

x̄=32, σ=4, n=64, 그리고 신뢰도 95%이므로 k=1.96을 공식에 대입하면 됩니다.

32 – 1.96 × (4/√64) ≤ m ≤ 32 + 1.96 × (4/√64)
32 – 1.96 × (4/8) ≤ m ≤ 32 + 1.96 × (4/8)
32 – 1.96 × 0.5 ≤ m ≤ 32 + 1.96 × 0.5
32 – 0.98 ≤ m ≤ 32 + 0.98
31.02 ≤ m ≤ 32.98

💡 참고: 신뢰도와 신뢰구간 길이의 관계

신뢰도를 95%에서 99%로 높이면, 즉 더 확실하게 맞히고 싶으면 어떻게 될까요? k값이 1.96에서 2.58로 커지기 때문에 신뢰구간의 길이가 더 길어져요(넓어져요). ‘모평균은 60점에서 80점 사이다’라고 말하는 게 ’68점에서 72점 사이다’라고 말하는 것보다 더 맞을 확률이 높은 것과 같은 이치죠. 즉, **신뢰도를 높이면 구간의 길이는 길어지고, 신뢰도를 낮추면 구간의 길이는 짧아지는** 반비례 아닌 반비례 관계가 있답니다. 이 내용은 다음 시간에 더 자세히 다뤄볼게요!