✨ 핵심만정리

표본평균(X̄)의 분포는 놀랍게도 대부분의 경우 정규분포를 따라요!

• 1. 모집단이 정규분포 N(m, σ²)를 따르면:
  표본평균 X̄도 **(표본 크기 n에 상관없이)** 정규분포 N(m, σ²/n)를 따른다.
• 2. 모집단이 정규분포가 아니더라도:
  **표본 크기 n이 충분히 크면(보통 n≥30)**, 표본평균 X̄는 **근사적으로** 정규분포 N(m, σ²/n)를 따른다. (이것이 바로 ‘중심극한정리’의 핵심!)

🎨 개념정리: 중심극한정리의 마법

안녕하세요, 수학포스팅입니다! 표본평균 X̄가 자기만의 평균(m)과 분산(σ²/n)을 갖는다는 걸 배웠죠. 그럼 X̄의 전체적인 분포는 어떤 모양일까요? 정답은 놀랍게도, 거의 항상 ‘정규분포’랍니다! 오늘은 이 마법 같은 원리에 대해 알아볼게요.

1. 모집단이 정규분포일 때

원래 모집단이 정규분포를 따른다면, 고민할 필요가 없어요. 거기서 뽑은 표본들의 평균인 X̄도 무조건 정규분포를 따른답니다. 단, 분산은 n으로 나눈 σ²/n으로 작아진다는 점만 기억하세요!

2. 모집단이 정규분포가 아닐 때 (중심극한정리)

모집단이 주사위처럼 균등하게 생겼거나, 한쪽으로 삐죽하게 생긴 분포라도 상관없어요. 표본의 크기 n만 충분히 크다면(보통 30개 이상), 표본평균 X̄의 분포는 신기하게도 좌우대칭의 아름다운 정규분포 곡선으로 변신해요! 이 강력하고 신비한 정리가 바로 통계학의 핵심인 **중심극한정리(Central Limit Theorem)**랍니다.

결론적으로, 모집단이 정규분포이거나 표본이 충분히 크면, 우리는 **표본평균 X̄가 정규분포 N(m, σ²/n)를 따른다**고 믿고 문제를 풀 수 있어요. 그래서 X̄에 대한 확률 문제도 ‘표준화’를 통해 풀 수 있는 거죠!

👀 개념확인 문제 풀어보기!

문제: 정규분포 N(200, 40²)을 따르는 모집단에서 크기가 100인 표본을 임의추출할 때, 표본평균 X̄에 대하여 P(196 ≤ X̄ ≤ 204)를 구하시오. (단, P(0≤Z≤1)=0.3413으로 계산한다.)

풀이:

1. 모집단이 정규분포이므로, 표본평균 X̄도 정규분포를 따릅니다.
2. X̄의 평균은 모평균과 같은 200입니다.
3. X̄의 분산은 모분산을 n으로 나눈 40²/100 = 16 입니다. 따라서 X̄의 표준편차는 √16 = 4 입니다.
4. 즉, X̄는 정규분포 N(200, 4²)을 따릅니다.
5. 표준화 공식 Z = (X̄ – 200) / 4 를 이용하여 확률을 구합니다.
6. P(196 ≤ X̄ ≤ 204) = P((196-200)/4 ≤ Z ≤ (204-200)/4) = P(-1 ≤ Z ≤ 1)
7. = 2 × P(0 ≤ Z ≤ 1) = 2 × 0.3413 = 0.6826 입니다.

💡 참고: 여론조사는 어떻게 가능할까?

중심극한정리가 바로 여론조사가 가능한 이유예요! 우리나라 사람 전체(모집단)의 특정 후보 지지율 분포가 어떤 모양인지 몰라도, 1000명(충분히 큰 표본) 정도만 뽑아서 조사하면 그 표본의 지지율(표본평균)은 정규분포를 따를 것이라고 예상할 수 있어요. 이를 통해 우리는 오차범위를 계산하고 전체 모집단의 지지율을 과학적으로 ‘추정’할 수 있게 된답니다.