✨ 핵심만정리

모평균이 m, 모분산이 σ²인 모집단에서 크기 n인 표본을 뽑을 때, 표본평균 X̄의 평균, 분산, 표준편차는 아래와 같아요.

🎨 개념정리: 표본평균들의 세상

안녕하세요, 수학포스팅입니다! 지난 시간에 표본평균(X̄)은 어떤 표본이 뽑히느냐에 따라 값이 달라지는 ‘확률변수’라고 했죠. 그렇다면 이 확률변수 X̄도 자신만의 평균, 분산, 표준편차를 가질 거예요. 오늘은 표본평균의 평균, 분산, 표준편차와 원래 모집단의 값(m, σ²) 사이에 어떤 놀라운 관계가 있는지 알아봅시다.

모집단에서 표본(예: 30명)을 한 번 뽑아서 평균을 내요. 또 다른 표본(30명)을 뽑아서 평균을 내요. 이 과정을 아주 많이 반복하면 수많은 표본평균(X̄)들이 생기겠죠? 이 표본평균들을 가지고 다시 평균과 분산을 구하면 어떻게 될까요?

1. 표본평균의 평균 E(X̄) = m

놀랍게도, 수많은 표본평균들의 평균은 원래 모집단의 평균(모평균) m과 정확히 일치해요. 즉, 표본평균은 모평균 주변에서 움직인다는 뜻이죠.

2. 표본평균의 분산 V(X̄) = σ²/n

표본평균들의 분산은 원래 모분산(σ²)보다 작아져요. 표본의 크기(n)로 나눈 만큼 작아지죠. 왜 작아질까요? 표본을 뽑아 평균을 내는 과정에서, 아주 크거나 작은 극단적인 값들의 영향이 희석(상쇄)되기 때문이에요. 그래서 표본평균들은 원래 데이터보다 모평균 주변에 더 옹기종기 모여있게 된답니다.

3. 표본평균의 표준편차 σ(X̄) = σ/√n

분산에 루트를 씌운 것이니, σ/√n이 됩니다. 특히 이 값은 ‘표준오차(Standard Error)’라고 부르기도 해요. 이 식에서 아주 중요한 사실을 알 수 있는데, 바로 **표본의 크기(n)가 커질수록 표본평균의 분산과 표준편차는 점점 작아진다**는 거예요. 즉, **표본을 크게 뽑을수록 더 정확하고 믿을만한 표본평균을 얻을 수 있다**는 뜻입니다!

👀 개념확인 문제 풀어보기!

문제: 모평균이 10, 모분산이 9인 모집단에서 임의추출한 크기가 100인 표본의 표본평균 X̄에 대하여 X̄의 평균, 분산, 표준편차를 구하시오.

풀이:

m=10, σ²=9, n=100 입니다. 공식에 그대로 대입해 봅시다.

• 평균 E(X̄) = m = 10
• 분산 V(X̄) = σ²/n = 9/100
• 표준편차 σ(X̄) = σ/√n = √9 / √100 = 3/10

💡 참고: σ 와 σ(X̄)의 차이

두 기호를 헷갈리면 안 돼요!

• 모표준편차(σ): 모집단 데이터 **하나하나**가 평균에서 얼마나 퍼져있는지를 나타내는 값.
• 표본평균의 표준편차(σ(X̄)): ‘여러 번 뽑은 **표본평균들이**’ 평균에서 얼마나 퍼져있는지를 나타내는 값.

표본의 크기(n)가 커질수록 표본평균은 모평균에 가까워지므로, 표본평균의 표준편차는 작아진다는 점을 꼭 기억하세요!