✨ 핵심만정리

• 표준화란?: 평균이 m, 분산이 σ²인 일반적인 정규분포 N(m, σ²)를, 우리가 표를 이용해 확률을 구할 수 있는 표준정규분포 N(0, 1)로 **변신**시키는 과정이에요.
• 표준화 공식: 이 공식 하나만 외우면 끝!

  Z = (X – m) / σ

  (원래 값 – 평균) / (표준편차)

🎨 개념정리: 표준화 공식의 두 단계

안녕하세요, 수학포스팅입니다! 지난 시간에 배운 표준정규분포 N(0,1)은 평균이 0, 분산이 1인 아주 특별한 경우였죠. 하지만 실제 데이터는 평균이 70, 표준편차가 10인 N(70, 10²)처럼 제멋대로예요. 이런 일반적인 정규분포의 확률은 어떻게 구할까요? 바로 **표준화**라는 마법을 통해 N(0,1)로 바꿔서 구한답니다!

표준화 공식: Z = (X – m) / σ

이 공식은 두 단계로 이루어져 있어요.

1. 1단계: X – m (평균을 0으로 만들기)
   모든 변수 X에서 평균 m을 빼주는 거예요. 그럼 자료의 중심이 m에서 0으로 이동하겠죠? 이렇게 하면 평균이 0이 돼요.
2. 2단계: σ로 나누기 (표준편차를 1로 만들기)
   그 다음, 그 값을 표준편차 σ로 나눠줘요. 자료들이 흩어진 정도를 표준편차(σ)라는 ‘한 칸’의 크기로 다시 재는 것과 같아요. 이렇게 하면 표준편차가 1이 된답니다.

이 두 단계를 거치면 어떤 정규분포를 따르는 확률변수 X라도, 평균이 0이고 표준편차가 1인 표준정규분포를 따르는 확률변수 Z로 변신하게 됩니다!

확률 계산에 적용하기

이제 확률을 구하는 과정은 명확해졌어요. `P(a ≤ X ≤ b)` 라는 확률을 구하려면, 부등식의 모든 변에 똑같이 표준화를 적용해주면 됩니다.

P(a ≤ X ≤ b) = P( (a-m)/σ ≤ Z ≤ (b-m)/σ )

이렇게 바꾼 뒤, 표준정규분포표를 이용해 확률을 구하면 끝!

👀 개념확인 문제 풀어보기!

문제: 확률변수 X가 정규분포 N(50, 10²)을 따른다. P(40 ≤ X ≤ 65)의 확률을 구하시오.
(단, P(0≤Z≤1.0)=0.3413, P(0≤Z≤1.5)=0.4332로 계산한다.)

풀이:

m=50, σ=10 이므로, 표준화 공식 Z = (X-50)/10 을 사용해요.

1. P(40 ≤ X ≤ 65)
2. = P( (40-50)/10 ≤ Z ≤ (65-50)/10 )
3. = P(-1 ≤ Z ≤ 1.5)
4. = P(-1 ≤ Z ≤ 0) + P(0 ≤ Z ≤ 1.5)
5. = P(0 ≤ Z ≤ 1) + P(0 ≤ Z ≤ 1.5)
6. = 0.3413 + 0.4332 = 0.7745

정답은 **0.7745** 입니다.

💡 참고: 68-95-99.7 규칙

정규분포에서는 아주 유명한 근사 규칙이 있어요. 바로 **68-95-99.7 규칙**이에요. 어떤 정규분포든, 데이터의 약 68%는 평균±1σ 범위 안에, 약 95%는 평균±2σ 범위 안에, 그리고 거의 모든 데이터(99.7%)는 평균±3σ 범위 안에 들어온다는 사실이랍니다. 표준화 과정을 통해 이 규칙이 모든 정규분포에 동일하게 적용된다는 것을 알 수 있죠!