✨ 핵심만정리

큰 수의 법칙(Law of Large Numbers)이란, 어떤 시행을 **아주 많이 반복하면**(시행 횟수 n이 커지면), 사건이 일어난 **상대도수(통계적 확률)**가 그 사건의 **수학적 확률**에 한없이 가까워진다는 법칙이에요.

이 법칙 덕분에 우리는 통계적 확률을 수학적 확률 대신 사용할 수 있는 이론적 근거를 갖게 됩니다.

🎨 개념정리: 반복이 진리에 가까워지는 길

안녕하세요, 수학포스팅입니다! 우리가 ‘동전의 앞면이 나올 확률은 1/2이다’라고 말하는 근거는 뭘까요? 바로 **큰 수의 법칙** 덕분이에요. 이 법칙은 통계적 확률과 수학적 확률을 이어주는 아주 중요한 다리랍니다.

많이 하면 할수록 정확해진다!

동전을 10번 던졌을 때, 앞면이 정확히 5번 나올까요? 3번이나 7번이 나올 수도 있죠. 하지만 동전을 10만 번, 100만 번 던진다면 어떨까요?

시행 횟수가 많아질수록, 앞면이 나온 비율(상대도수)은 수학적 확률인 0.5 (즉, 1/2)에 거의 정확하게 가까워져요. 이것이 바로 큰 수의 법칙입니다.

주사위를 던져 1의 눈이 나올 수학적 확률은 1/6 (약 0.167)이죠. 실제로 계산해 보면, 시행 횟수(n)가 커질수록, 1의 눈이 나온 실제 비율이 1/6에 가까워질 확률이 점점 1에 가까워지는 것을 확인할 수 있어요. n=10일 때보다 n=50일 때, 실험 결과가 이론값에 더 가까울 가능성이 훨씬 높다는 뜻입니다.

👀 개념확인

질문: 어떤 제약회사가 신약을 개발했습니다. 이 약의 치료율을 알기 위해 10,000명에게 투약했더니 8,000명이 완치되었습니다. 그래서 이 약의 치료율을 80%라고 발표했습니다. 이처럼 실제 임상 시험 결과를 바탕으로 약의 효능(확률)을 정할 수 있는 이론적 근거는 무엇일까요?

정답: 바로 **큰 수의 법칙** 때문입니다. 충분히 많은 사람에게 시험(시행)하면, 그 결과로 얻은 치료율(통계적 확률)이 실제 약의 진짜 치료율(수학적 확률)과 매우 가까울 것이라고 믿을 수 있기 때문입니다.

💡 참고: 우리 생활 속 큰 수의 법칙

큰 수의 법칙은 보험, 여론조사, 품질 관리 등 우리 생활 곳곳에서 사용되는 통계적 추정의 기본 원리예요. 보험사가 사고 발생 확률을 예측하여 보험료를 책정하거나, 선거 여론조사에서 수천 명의 의견으로 전체 민심을 예측하는 것 모두 이 법칙에 기반하고 있답니다. 수학이 현실 세계의 불확실성을 예측하는 강력한 도구라는 것을 보여주는 좋은 예시죠!