✨ 핵심만정리

확률변수 X가 이항분포 **B(n, p)**를 따를 때, 복잡한 계산 없이 평균, 분산, 표준편차를 바로 구할 수 있는 치트키 공식이에요!

🎨 개념정리: 이항분포의 치트키 공식

안녕하세요, 수학포스팅입니다! 지난 시간에 배운 이항분포 B(n,p), 기억나죠? 만약 주사위를 120번 던져서 1의 눈이 나오는 횟수의 평균을 구하려면, 확률분포표를 다 만들어서 `(변수)×(확률)`을 모두 더해야 할까요? 생각만 해도 끔찍하죠? 다행히도, 이항분포에서는 평균과 분산을 아주 간단하게 구하는 공식이 있답니다!

평균, 분산, 표준편차 공식

이항분포를 따르는 확률변수 X의 평균, 분산, 표준편차는 각각 `n`과 `p`만 알면 바로 계산할 수 있어요.

• 평균 E(X) = np
  이건 아주 직관적이에요. 성공 확률이 p인 행동을 n번 하면, 평균적으로 n×p번 성공할 거라고 기대하는 건 아주 자연스럽죠?
• 분산 V(X) = npq
  분산 공식의 증명 과정은 조금 복잡하니, 우리는 ‘n, p, 그리고 실패 확률 q(=1-p)를 모두 곱하면 분산이 된다’고 결과를 받아들이고 활용하는 데 집중해 봐요!
• 표준편차 σ(X) = √npq
  표준편차는 분산에 루트만 씌우면 되니 간단하죠?

👀 개념확인 문제 풀어보기!

문제: 확률변수 X가 다음 이항분포를 따를 때, X의 평균과 분산을 구하시오.

(1) B(16, 1/4)

풀이: n=16, p=1/4, q=1-1/4=3/4 입니다.
– 평균 E(X) = np = 16 × (1/4) = 4
– 분산 V(X) = npq = 16 × (1/4) × (3/4) = 3

(2) B(720, 1/6)

풀이: n=720, p=1/6, q=1-1/6=5/6 입니다.
– 평균 E(X) = np = 720 × (1/6) = 120
– 분산 V(X) = npq = 720 × (1/6) × (5/6) = 100

💡 참고: 공식의 위대함

이 공식들은 왜 중요할까요? 시행 횟수 n이 720처럼 매우 클 때, 0번 성공할 확률부터 720번 성공할 확률까지의 확률분포표를 직접 그리는 것은 불가능에 가까워요. 하지만 이 공식만 알면, 단 몇 초 만에 ‘평균적으로 120번 성공하고 분산은 100정도 되겠구나’라는 중요한 정보를 얻을 수 있죠. 복잡한 계산을 건너뛰게 해주는 이항분포의 가장 강력한 장점이랍니다!