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[수학포스팅] 430 확률변수의 변환 📊 내 점수가 2배가 되고 3점이 더해진다면?
✨ 핵심만정리
확률변수 X가 aX+b 꼴로 변환되었을 때, 평균, 분산, 표준편차는 아래 공식에 따라 변해요.
1. 평균: E(aX + b) = aE(X) + b
(정직하게 곱한 만큼 곱하고, 더한 만큼 더해져요!)
2. 분산: V(aX + b) = a²V(X)
(더한 건 무시! 곱한 건 제곱해서 곱해져요!)
3. 표준편차: σ(aX + b) = |a|σ(X)
(더한 건 무시! 곱한 것의 절댓값만 곱해져요!)
🎨 개념정리: 변환된 점수의 평균과 분산
안녕하세요, 수학포스팅입니다! 만약 여러분의 시험 점수(X)를 모두 2배 한 다음, 3점을 보너스로 더해준다고 상상해볼까요? (새로운 점수 Y = 2X+3) 그럼 반 전체의 평균, 분산, 표준편차는 어떻게 변할까요? 오늘은 이렇게 확률변수가 변환될 때 통계값들이 어떻게 바뀌는지 알아볼게요.
1. 평균의 변환: E(aX+b) = aE(X)+b
평균은 아주 정직해요. 모든 학생의 점수를 a배 하면 평균도 똑같이 a배가 되고, 모든 학생에게 b점을 더해주면 평균도 똑같이 b점만큼 올라가요. 그래서 Y=aX+b의 평균은 원래 평균 E(X)에 a를 곱하고 b를 더한 것과 같아요.
2. 분산의 변환: V(aX+b) = a²V(X)
분산은 ‘흩어진 정도’를 나타내죠. 모든 학생에게 똑같이 b점을 더해준다고 해서, 점수들이 흩어진 정도가 변할까요? 아니죠. 점수 그래프가 오른쪽으로 b만큼 평행이동할 뿐, 데이터가 퍼진 모양은 그대로예요. 그래서 **더하는 b는 분산에 아무런 영향을 주지 않아요.**
하지만 모든 점수를 a배 하면 어떻게 될까요? 점수들 사이의 간격도 a배로 벌어져요. 분산은 ‘편차 제곱’의 평균이기 때문에, 이 영향은 a의 제곱인 **a²배**로 나타난답니다.
3. 표준편차의 변환: σ(aX+b) = |a|σ(X)
표준편차는 분산에 루트를 씌운 것이죠. 그래서 a²V(X)에 루트를 씌우면, √a² × √V(X)가 돼요. √V(X)는 원래 표준편차 σ(X)고, √a²는 a가 아니라 **절댓값 |a|**가 된다는 점만 주의하면 돼요! 표준편차는 흩어진 ‘정도’이므로 음수가 될 수 없으니까요.
👀 개념확인 문제 풀어보기!
문제: 확률변수 X에 대하여 E(X)=5, V(X)=3 일 때, 확률변수 Y = -2X+3의 평균, 분산, 표준편차를 구하시오.
풀이:
공식에 a=-2, b=3을 대입하여 계산하면 됩니다.
- 평균 E(Y):
E(-2X+3) = -2E(X) + 3 = (-2 × 5) + 3 = -7 - 분산 V(Y):
V(-2X+3) = (-2)²V(X) = 4 × 3 = 12 - 표준편차 σ(Y):
σ(-2X+3) = |-2|σ(X) = 2 × √V(X) = 2√3
💡 참고: ‘더하기’는 분산을 바꿀 수 없다!
공식이 헷갈릴 땐 분산과 표준편차가 ‘흩어진 정도’를 나타내는 값이라는 것을 기억하세요. 모든 값에 똑같이 3을 더해준다고 해서 점수들의 간격이나 퍼진 정도가 변하지는 않겠죠? 그래서 `+b`는 분산과 표준편차에 영향을 주지 않는 거랍니다. 이 점이 공식을 외울 때 가장 중요한 포인트예요!