✨ 핵심만정리

분산 V(X)를 구하는 훨씬 간단하고 빠른 공식이에요. ‘편차’를 계산할 필요가 없답니다!

🎨 개념정리: 분산 계산의 지름길

안녕하세요, 수학포스팅입니다! 지난 시간에 분산을 구하려면 ①평균 구하기 → ②편차 구하기 → ③편차 제곱하기 → ④편차 제곱의 평균 구하기… 라는 복잡한 과정을 거쳤죠? 오늘은 이 과정을 훨씬 간단하게 만들어주는 분산의 마법 공식을 소개해 드릴게요!

마법 공식: V(X) = E(X²) – {E(X)}²

이 공식에 등장하는 기호들을 살펴볼까요?

• E(X): 우리가 아는 바로 그 **평균(기댓값)**이에요. `(변수 × 확률)`의 총합이죠.
• E(X²): ‘**제곱의 평균**’이라는 새로운 친구예요. 계산은 간단해요. 변수 X들을 **먼저 제곱**하고, 그 다음에 각각의 확률을 곱해서 모두 더하면 돼요. 즉, `(변수² × 확률)`의 총합입니다.

이 공식을 쓰면 평균 E(X)와 제곱의 평균 E(X²)만 구해서 빼주면 되므로, 중간에 번거로운 ‘편차’ 계산 과정을 생략할 수 있어요. 계산 실수를 크게 줄일 수 있는 아주 유용한 공식이랍니다.

👀 개념확인 문제 풀어보기!

문제: 확률변수 X의 확률분포가 아래 표와 같을 때, X의 분산을 구하시오.

X	1	2	3	합계
P(X=x)	1/6	1/2	1/3	1

풀이: 새로운 공식을 이용해 3단계로 풀어봅시다!

1. 1단계: E(X) 구하기 (평균)
   E(X) = (1×1/6) + (2×1/2) + (3×1/3) = 1/6 + 1 + 1 = 13/6
2. 2단계: E(X²) 구하기 (제곱의 평균)
   E(X²) = (1²×1/6) + (2²×1/2) + (3²×1/3) = 1/6 + 4/2 + 9/3 = 1/6 + 2 + 3 = 31/6
3. 3단계: 공식에 대입하여 V(X) 구하기
   V(X) = E(X²) – {E(X)}² = 31/6 – (13/6)²

💡 참고: 헷갈리지 않게 외우는 꿀팁!

공식을 외울 때 **”(제곱의 평균) – (평균의 제곱)”**이라고 우리말로 입에 붙여두면 절대 헷갈리지 않아요. E(X²)과 {E(X)}²는 완전히 다른 값이니 순서가 바뀌지 않도록 꼭 주의하세요!

대부분의 분산 계산 문제에서는 오늘 배운 이 공식을 사용하는 것이 ‘편차 제곱의 평균’을 이용하는 정의보다 훨씬 빠르고 정확하답니다.