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[수학포스팅] 427 분산과 표준편차 ↔️ 자료가 평균에서 얼마나 떨어져 있을까?
✨ 핵심만정리
자료가 평균을 중심으로 얼마나 흩어져 있는지를 나타내는 값이에요. (산포도)
- 분산 V(X): ‘**편차의 제곱**’의 평균(기댓값)이에요.
- 표준편차 σ(X): 분산에 루트를 씌운 값이에요.
편차 = (변수) – (평균)
V(X) = E((X-m)²)
σ(X) = √V(X)
🎨 개념정리: 분산과 표준편차 구하는 3단계
안녕하세요, 수학포스팅입니다! 평균(기댓값)은 자료의 중심을 알려주지만, 자료가 그 중심에 얼마나 옹기종기 모여있는지, 아니면 넓게 흩어져 있는지는 알려주지 못해요. 이 ‘흩어진 정도’를 숫자로 나타내는 것이 바로 **분산**과 **표준편차**입니다. 분산과 표준편차를 구하는 여정은 총 3단계로 이루어져요.
- 1단계: 평균(기댓값) 구하기
모든 계산의 기준점이 되는 평균(m)을 먼저 구해야 해요. - 2단계: 분산(V(X)) 구하기
분산은 ‘**편차 제곱의 평균**’이라는 정의를 기억하세요.- 편차: 각 변수가 평균에서 얼마나 떨어져 있는지 나타내는 값이에요. `(변수 – 평균)`
- 편차 제곱: 편차는 양수도, 음수도 있는데 그냥 더하면 0이 되기 때문에, 모두 양수로 만들어주고 값의 차이를 더 잘 보기 위해 제곱해요.
- 편차 제곱의 평균: 이 제곱한 값들의 평균을 구하는 거예요. `(편차제곱) × (해당 확률)`을 모두 더하면 분산이 됩니다.
- 3단계: 표준편차(σ(X)) 구하기
분산은 단위를 ‘제곱’한 값이라 직관적으로 와닿지 않을 수 있어요. 그래서 분산에 루트를 씌워 단위를 원래대로 돌려놓은 것이 표준편차랍니다.
예시: 동전 3번 던지기
동전을 세 번 던져 앞면이 나오는 횟수 X의 분산과 표준편차를 구해볼까요? (X의 평균은 3/2 이었어요.)
| X | P(X=x) | 편차(X-m) | 편차² | 편차²×확률 |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 1/8 | 0 – 3/2 = -3/2 | 9/4 | (9/4)×(1/8)=9/32 |
| 1 | 3/8 | 1 – 3/2 = -1/2 | 1/4 | (1/4)×(3/8)=3/32 |
| 2 | 3/8 | 2 – 3/2 = 1/2 | 1/4 | (1/4)×(3/8)=3/32 |
| 3 | 1/8 | 3 – 3/2 = 3/2 | 9/4 | (9/4)×(1/8)=9/32 |
분산 V(X) = 9/32 + 3/32 + 3/32 + 9/32 = 24/32 = 3/4
표준편차 σ(X) = √V(X) = √(3/4) = (√3)/2
👀 개념확인 문제 풀어보기!
문제: 확률변수 X의 확률분포표가 아래와 같을 때, X의 분산과 표준편차를 구하시오.
| X | 1 | 2 | 3 | 합계 |
|---|---|---|---|---|
| P(X=x) | 1/4 | 1/2 | 1/4 | 1 |
풀이:
- 평균 구하기: E(X) = (1×1/4) + (2×1/2) + (3×1/4) = 1/4 + 1 + 3/4 = 2
- 분산 구하기: V(X) = (1-2)²×(1/4) + (2-2)²×(1/2) + (3-2)²×(1/4)
= (1×1/4) + (0×1/2) + (1×1/4) = 1/4 + 0 + 1/4 = 1/2 - 표준편차 구하기: σ(X) = √V(X) = √(1/2) = (√2)/2
💡 참고: 분산과 표준편차는 왜 필요할까?
두 반의 수학 시험 평균이 70점으로 똑같아도, 한 반은 모두 60~80점 사이에 모여있고 다른 반은 30점부터 100점까지 넓게 퍼져있을 수 있어요. 분산과 표준편차가 작을수록 점수가 평균에 더 모여있다는, 즉 ‘성적이 고르다’는 것을 의미해요. 이처럼 자료의 ‘흩어진 정도’를 파악하는 것은 평균만큼이나 중요하답니다.