✨ 핵심만정리

• 이산확률변수: 확률변수 X가 가질 수 있는 값이 0, 1, 2, 3…처럼 유한개이거나 자연수와 같이 **셀 수 있을 때**의 확률변수를 말해요.
• 확률질량함수: 이산확률변수 X가 특정 값(x)을 가질 확률을 나타내는 **함수**예요. 기호로는 P(X=x) = p 와 같이 나타내죠.
• 확률분포표: 확률질량함수의 내용을 한눈에 보기 쉽게 **표**로 정리한 것입니다.

🎨 개념정리: 이산확률변수와 그 표현법

안녕하세요, 수학포스팅입니다! 지난 시간에 배운 확률변수, 기억나죠? 오늘은 그중에서도 값이 뚝뚝 떨어져 있는, 즉 ‘셀 수 있는’ 값을 갖는 **이산확률변수**에 대해 집중적으로 알아볼 거예요. 그리고 그 확률분포를 나타내는 두 가지 대표적인 방법, ‘확률질량함수’와 ‘확률분포표’를 배워봅시다!

이산(離散)확률변수란?

동전 던지기에서 앞면이 나온 ‘횟수’, 주사위 눈의 ‘수’, 한 페이지의 오타 ‘개수’처럼, 결과가 0개, 1개, 2개… 이렇게 셀 수 있는 값을 갖는 변수를 이산(離散, discrete)확률변수라고 해요. ‘이산가족’ 할 때처럼, 데이터가 연속적이지 않고 서로 떨어져 있다는 의미를 담고 있죠.

확률분포의 표현법: 함수 vs 표

동전을 세 번 던지는 시행에서, 앞면이 나오는 횟수를 확률변수 X라고 해볼게요. X가 가질 수 있는 값은 0, 1, 2, 3이겠죠? 이 확률분포를 두 가지 방법으로 나타내 볼게요.

1. 확률질량함수 (함수식으로 표현)
X가 특정 값 x를 가질 확률 P(X=x)는, ‘3번 던져서 앞면이 x번 나올 독립시행의 확률’과 같아요. 이것을 하나의 식으로 나타낸 것이 확률질량함수입니다.

이 함수식에 x=0, 1, 2, 3을 각각 대입하면 P(X=0), P(X=1) 등의 확률을 모두 구할 수 있어요.

2. 확률분포표 (표로 표현)
함수식보다 한눈에 보기 편하도록, 위 내용을 표로 정리한 것이 확률분포표예요.

X (앞면의 횟수)	0	1	2	3	합계
P(X=x) (확률)	1/8	3/8	3/8	1/8	1

👀 개념확인 문제 풀어보기!

문제: 주머니에 흰 공 2개, 검은 공 3개가 들어있다. 이 주머니에서 임의로 2개의 공을 꺼낼 때, 나오는 흰 공의 개수를 확률변수 X라고 하자. X의 확률분포를 표로 나타내시오.

풀이:

1. X가 가질 수 있는 값 찾기: 흰 공은 최대 2개까지 나올 수 있으므로, X는 0, 1, 2의 값을 가질 수 있어요.
2. 전체 경우의 수 구하기: 5개의 공 중 2개를 뽑는 경우의 수는 5C2 = 10가지 입니다.
3. 각 확률 계산하기:
   – P(X=0) = 흰 공 0개, 검은 공 2개를 뽑을 확률 = 3C2 / 10 = 3/10
   – P(X=1) = 흰 공 1개, 검은 공 1개를 뽑을 확률 = (2C1×3C1) / 10 = 6/10
   – P(X=2) = 흰 공 2개, 검은 공 0개를 뽑을 확률 = 2C2 / 10 = 1/10
4. 확률분포표 작성하기:

X (흰 공의 개수)	0	1	2	합계
P(X=x) (확률)	3/10	6/10	1/10	1

💡 참고: 왜 ‘질량(Mass)’이라는 단어가 붙을까?

왜 ‘확률질량함수’일까요? 이산확률변수의 분포를 막대그래프로 그리는 것을 상상해보세요. 각 확률변수의 값(0, 1, 2, 3) 위치에 해당 확률만큼의 ‘질량’이 덩어리(mass)처럼 놓여있다고 생각하는 거예요. 그래서 ‘확률질량함수’라고 부른답니다. 나중에 배울 연속적인 값을 갖는 변수에서는 ‘질량’ 대신 ‘밀도’라는 말을 사용해서 ‘확률밀도함수’가 등장할 거예요!