🎨 개념정리: 결과를 숫자로 바꾸는 ‘확률변수’

안녕하세요, 수학포스팅입니다! 지금까지 우리는 ‘짝수가 나올 확률’, ‘소수가 나올 확률’처럼 특정 ‘상황’에 대한 확률을 구했죠. 이제부터 통계의 세계에서는 이 결과들을 ‘숫자’로 바꿔서 다룰 거예요. 그 주인공이 바로 **확률변수**입니다!

확률변수(X)란 무엇일까?

확률변수는 ‘랜덤한 실험의 결과를 숫자로 나타내주는 장치’라고 생각하면 쉬워요. ‘앞면’, ‘뒷면’ 같은 문자 결과를 ‘개수’, ‘점수’ 같은 숫자로 바꿔주는 거죠.

동전을 두 번 던지는 시행을 예로 들어봅시다.

• 시행의 결과 (표본공간): {(앞,앞), (앞,뒤), (뒤,앞), (뒤,뒤)}
• 확률변수 X를 ‘앞면이 나오는 횟수’라고 정해봅시다.
• (앞,앞) ➝ X = 2
• (앞,뒤), (뒤,앞) ➝ X = 1
• (뒤,뒤) ➝ X = 0

이렇게 확률적인 결과(예: (앞,앞))를 숫자(예: 2)로 바꿔주는 변수 X를 확률변수라고 불러요.

확률분포란 무엇일까?

이제 확률변수 X가 가질 수 있는 값은 0, 1, 2가 되었네요. 그럼 X가 각각의 값을 가질 확률은 얼마일까요?

• P(X=0) = (뒤,뒤) 1가지 / 전체 4가지 = 1/4
• P(X=1) = (앞,뒤), (뒤,앞) 2가지 / 전체 4가지 = 2/4 = 1/2
• P(X=2) = (앞,앞) 1가지 / 전체 4가지 = 1/4

이렇게 확률변수 X가 가질 수 있는 모든 값과 그에 해당하는 확률을 짝지어 표로 나타낸 것을 X의 **확률분포표**라고 합니다.

X (앞면의 횟수)	0	1	2	합계
P(X=x) (확률)	1/4	1/2	1/4	1

👀 개념확인 문제 풀어보기!

문제: 한 개의 주사위를 던져서 나오는 눈의 수를 확률변수 X라고 할 때, 다음을 구하시오.

(1) X가 가질 수 있는 값

풀이: 주사위를 던져 나올 수 있는 눈의 수는 1, 2, 3, 4, 5, 6이죠. 따라서 X가 가질 수 있는 값은 **1, 2, 3, 4, 5, 6** 입니다.

(2) P(X=5)

풀이: P(X=5)는 ‘X가 5일 확률’, 즉 ‘주사위 눈이 5가 나올 확률’을 의미해요. 6가지 경우 중 1가지이므로 확률은 **1/6** 입니다.

💡 참고: 왜 결과를 숫자로 바꿀까?

확률변수를 도입하는 이유는 간단해요. ‘앞면이 두 번 나왔다’ 같은 질적인 결과를 ‘2’라는 양적인 숫자로 바꾸면, 앞으로 우리가 배울 평균, 분산, 표준편차 같은 통계적인 계산을 할 수 있게 되기 때문이에요. 확률변수는 확률과 통계를 이어주는 아주 중요한 다리 역할을 한답니다!