✨ 핵심만정리

독립시행이란 주사위나 동전을 여러 번 던지는 것처럼, 매번 동일한 조건에서 시행이 반복되고 각 시행의 결과가 서로에게 영향을 주지 않는 것을 말해요.

독립시행의 확률 공식
1회 시행에서 사건 A가 일어날 확률이 p일 때, n번의 독립시행에서 사건 A가 **정확히 r번** 일어날 확률은:

🎨 개념정리: 공식의 세 가지 구성 요소

안녕하세요, 수학포스팅입니다! 농구 선수가 자유투 성공률이 80%일 때, 5번 던져서 정확히 3번 성공할 확률은 어떻게 계산할까요? 각 자유투는 이전의 성공이나 실패에 영향을 받지 않죠. 이렇게 ‘매번 똑같은 확률로 반복되는 독립적인 시행’에서 특정 횟수의 성공 확률을 구하는 것이 바로 **독립시행의 확률**입니다.

공식 nCr × pʳ × (1-p)ⁿ⁻ʳ은 세 부분으로 이루어져 있어요.

1. nCr (언제 성공할지 고르기):
   n번 중에서 성공할 r번의 순서를 고르는 경우의 수예요. 5번 중 3번 성공이라면, (성공,성공,성공,실패,실패)일 수도, (성공,실패,성공,실패,성공)일 수도 있겠죠? 이 순서 조합의 가짓수가 바로 nCr입니다.
2. pʳ (성공 확률):
   성공할 확률 p를 r번 곱한 거예요. 3번 성공했으니 p를 세 번 곱하는 거죠.
3. (1-p)ⁿ⁻ʳ (실패 확률):
   실패할 확률(1-p)을 나머지 (n-r)번 곱한 거예요. 5번 중 3번 성공했다면 실패는 2번이겠죠?

예시: 주사위 던지기

주사위를 4번 던져서 1의 눈이 정확히 3번 나올 확률을 구해봅시다. (n=4, r=3, p=1/6)

• (4C3): 4번 중 1의 눈이 나올 3번의 순서를 고르고,
• (1/6)³: 1의 눈이 3번 나올 확률을 곱하고,
• (5/6)¹: 1이 아닌 눈이 1번 나올 확률을 곱해주면 됩니다.

👀 개념확인 문제 풀어보기!

문제: 어떤 양궁 선수가 10점 영역을 맞힐 확률이 7/10이라고 합니다. 이 선수가 화살을 3번 쏘아 10점 영역을 **정확히 2번** 맞힐 확률을 구하시오.

풀이:

독립시행의 확률 공식에 필요한 요소들을 찾아봅시다.

• 총 시행 횟수 n = 3
• 성공 횟수 r = 2
• 1회 성공 확률 p = 7/10
• 1회 실패 확률 1-p = 3/10

이제 공식에 대입하여 계산하면 됩니다.

정답은 441/1000 입니다.

💡 참고: ‘n번 중 r번’이라는 키워드!

확률의 곱셈정리는 주로 두세 사건의 관계를 다루지만, 독립시행은 ‘동일한’ 시행을 ‘여러 번(n번)’ 반복할 때 사용돼요. 특히 문제에서 ‘**n번 중 r번**’이라는 키워드가 나오면 독립시행일 가능성이 매우 높답니다!

오늘 배운 독립시행의 확률은, 통계 단원에서 배우게 될 ‘이항분포’의 가장 기초가 되는 중요한 개념이니 꼭 기억해주세요.