✨ 핵심만정리

결론부터 말하면 **YES!** 입니다. 독립이라는 성질은 아주 강력해서, 여사건에게도 그대로 ‘상속’돼요.

두 사건 A와 B가 서로 **독립**이면, 아래의 모든 관계도 **전부 독립**입니다.

🎨 개념정리: 독립이라는 강력한 유전자

안녕하세요, 수학포스팅입니다! ‘A와 B가 독립’이라는 강력한 조건이 주어졌을 때, 이 독립이라는 성질이 다른 사건들에게도 영향을 미치는지 궁금하지 않나요? 예를 들어, ‘A가 일어나지 않는 사건’과 ‘B가 일어나는 사건’도 과연 서로에게 영향을 주지 않을까요? 오늘은 이 관계를 증명을 통해 파헤쳐 보겠습니다.

“A와 Bᶜ도 독립이다” 증명 과정

두 사건이 독립임을 보이려면, 최종 목표는 **P(A∩Bᶜ) = P(A) × P(Bᶜ)** 임을 보이는 거예요. 차근차근 따라와 보세요!

1. 출발점: P(A∩Bᶜ)
   A∩Bᶜ는 벤다이어그램에서 ‘A 중에서 B와 겹치는 부분을 뺀 순수한 A’ 부분이에요. 즉, P(A-B)와 같아요.
2. 차집합의 성질 이용
   P(A-B)는 P(A)에서 겹치는 부분인 P(A∩B)를 뺀 것과 같죠.
   ➝ P(A∩Bᶜ) = P(A) – P(A∩B)
3. ‘A, B는 독립’ 조건 사용!
   여기서 핵심 조건인 ‘A와 B는 독립’을 사용해요. P(A∩B)를 P(A)×P(B)로 바꿀 수 있어요.
   ➝ P(A) – P(A)×P(B)
4. 인수분해 하기
   P(A)로 묶어주면 ➝ P(A) × (1 – P(B))
5. 여사건 확률 공식 적용
   1 – P(B)는 P(Bᶜ)와 같다는 것, 기억나시죠?
   ➝ P(A) × P(Bᶜ)

자, 보세요! P(A∩Bᶜ)로 시작해서 P(A) × P(Bᶜ)라는 결과가 나왔어요. 두 사건이 독립일 조건과 정확히 일치하죠? 따라서 **A와 Bᶜ도 서로 독립**임이 증명되었습니다. 나머지 관계들도 비슷한 방법으로 모두 증명할 수 있답니다.

👀 개념확인 문제 풀어보기!

문제: 두 사건 A, B가 서로 독립이고, P(A)=0.6, P(B)=0.5 입니다. 이때 P(Aᶜ∩Bᶜ)의 값을 구하시오.

풀이:

이 문제를 푸는 열쇠는 ‘A와 B가 독립이면, Aᶜ와 Bᶜ도 서로 독립이다’라는 성질을 아는 거예요.

1. Aᶜ와 Bᶜ이 서로 독립이므로, **P(Aᶜ∩Bᶜ) = P(Aᶜ) × P(Bᶜ)** 이 성립해요.
2. 여사건의 확률을 각각 구해요.
   P(Aᶜ) = 1 – P(A) = 1 – 0.6 = 0.4
   P(Bᶜ) = 1 – P(B) = 1 – 0.5 = 0.5
3. 두 확률을 곱해주면 끝!

정답은 0.2 입니다.

💡 참고: 4종류의 독립 세트 메뉴!

문제에서 ‘두 사건 A와 B가 독립’이라는 말을 보면, 아래 4가지 독립 관계가 한 세트로 따라온다고 생각하면 아주 편리해요.

1. A와 B는 독립
2. A와 Bᶜ는 독립
3. Aᶜ와 B는 독립
4. Aᶜ와 Bᶜ는 독립

이 4가지 세트 메뉴를 기억해두면, 어떤 여사건 관련 문제가 나와도 당황하지 않고 독립의 성질을 자유자재로 활용할 수 있을 거예요!