✨ 핵심만정리

두 사건 A, B가 서로 **독립**인지 확인하는 가장 실용적이고 확실한 방법이에요.

이 식은 두 사건이 독립이기 위한 **필요충분조건**이랍니다.

🎨 개념정리: 독립을 판정하는 가장 간단한 방법

안녕하세요, 수학포스팅입니다! 지난 시간에 ‘독립’의 정의가 P(B|A) = P(B) 라고 배웠죠. 하지만 매번 조건부확률을 계산해서 비교하기는 번거로울 때가 있어요. 오늘은 두 사건이 독립인지 아닌지를 훨씬 간편하게 판정할 수 있는 핵심 공식을 알아볼 거예요.

판정 공식은 어디서 왔을까?

공식의 유도는 확률의 곱셈정리에서 시작돼요.

P(A∩B) = P(A) × P(B|A)

만약 두 사건 A와 B가 서로 독립이라면, P(B|A)는 그냥 P(B)와 같다고 했죠? 이걸 위 식에 대입하면 아래와 같은 아주 중요한 식이 탄생해요.

반대로 이 식이 성립하면, 두 사건은 반드시 독립임이 알려져 있어요. 그래서 이 공식은 두 사건이 독립인지 판정하는 가장 확실하고 편리한 방법이랍니다.

예시: 주사위 던지기

주사위 한 개를 던질 때, 사건 A를 ‘2의 배수가 나오는 사건’, 사건 B를 ‘3의 배수가 나오는 사건’이라고 해봅시다. 이 두 사건은 독립일까요, 종속일까요?

1. 각 확률 구하기
   A = {2, 4, 6} → P(A) = 3/6 = 1/2
   B = {3, 6} → P(B) = 2/6 = 1/3
   A∩B = {6} → P(A∩B) = 1/6
2. 판정 공식으로 확인하기
   P(A) × P(B) = (1/2) × (1/3) = 1/6
3. 결과 비교하기
   P(A∩B)의 값(1/6)과 P(A)×P(B)의 값(1/6)이 정확히 일치하네요! 따라서 두 사건 A와 B는 서로 **독립**입니다.

👀 개념확인 문제 풀어보기!

문제: 다음을 만족시키는 두 사건 A, B가 서로 독립인지 종속인지 판별하시오.

(1) P(A)=0.5, P(B)=0.6, P(A∩B)=0.4

풀이: 판정 공식을 사용해봅시다. P(A) × P(B) = 0.5 × 0.6 = 0.3 입니다. 실제 P(A∩B)의 값인 0.4와 다르므로, 두 사건은 서로 **종속**입니다.

(2) P(A)=0.25, P(B)=0.4, P(A∩B)=0.1

풀이: P(A) × P(B) = 0.25 × 0.4 = 0.1 입니다. 실제 P(A∩B)의 값인 0.1과 같네요! 따라서 두 사건은 서로 **독립**입니다.

💡 참고: 독립을 확인하는 두 가지 도구

이제 우리는 두 가지 방법으로 독립을 확인할 수 있게 됐어요!

1. 정의: P(B|A) = P(B)
2. 판정법: P(A∩B) = P(A) × P(B)

정의는 독립의 ‘의미’를 이해하는 데 중요하고, 판정법은 실제 문제에서 독립인지 아닌지 ‘계산’을 통해 확인할 때 훨씬 편리하답니다. 두 가지 모두 확실히 알아두고 상황에 맞게 사용해 보세요!