✨ 핵심만정리

두 사건 A, B가 서로에게 영향을 주는지에 따라 관계를 정의해요.

🎨 개념정리: 복원추출 vs 비복원추출

안녕하세요, 수학포스팅입니다! 지난 시간에 배운 조건부확률 P(B|A)는 ‘사건 A가 일어났다는 조건 하에 B가 일어날 확률’이었죠. 만약 사건 A가 일어나든 말든 B가 일어날 확률에 아무런 영향을 주지 못한다면 어떨까요? 이처럼 두 사건의 관계를 나타내는 말이 바로 ‘독립’과 ‘종속’이랍니다.

주머니에 흰 공 3개, 검은 공 2개가 들어있는 상황으로 두 개념의 차이를 확실히 알아봅시다.

1. 독립: “뽑은 공을 다시 넣는 경우” (복원추출)

주머니에서 공을 하나 뽑아 색을 확인하고, **다시 주머니에 넣고** 두 번째 공을 뽑는 상황을 생각해봐요.

• 첫 번째에 흰 공을 뽑았을 때, 두 번째에 흰 공이 나올 확률 P(B|A):
  첫 번째 공을 다시 넣었으니 주머니는 원래대로 ‘흰3, 검2’ 상태예요. 따라서 확률은 3/5 입니다.
• 첫 번째에 검은 공을 뽑았을 때, 두 번째에 흰 공이 나올 확률 P(B|Aᶜ):
  마찬가지로 공을 다시 넣었으니 주머니는 ‘흰3, 검2’ 상태죠. 확률은 여전히 3/5 입니다.

첫 번째 결과가 두 번째 확률에 전혀 영향을 주지 못했죠? 이럴 때 두 사건은 서로 **독립**이라고 말해요.

2. 종속: “뽑은 공을 다시 넣지 않는 경우” (비복원추출)

이번엔 뽑은 공을 **다시 넣지 않는** 경우예요. 상황이 완전히 달라집니다.

• 첫 번째에 흰 공을 뽑았을 때, 두 번째에 흰 공이 나올 확률 P(B|A):
  주머니엔 이제 ‘흰2, 검2’만 남았어요. 따라서 확률은 2/4 = 1/2 입니다.
• 첫 번째에 검은 공을 뽑았을 때, 두 번째에 흰 공이 나올 확률 P(B|Aᶜ):
  주머니엔 ‘흰3, 검1’이 남았네요. 따라서 확률은 3/4 입니다.

첫 번째 결과에 따라 두 번째 확률이 완전히 달라졌죠? 이처럼 한 사건이 다른 사건의 확률에 영향을 주는 관계를 **종속**이라고 합니다.

👀 개념확인 문제 풀어보기!

문제: 두 사건 A, B가 서로 독립이고 P(A)=1/2, P(B)=4/5 일 때, 다음을 구하시오.

(1) P(B|A)

(2) P(A|B)

풀이:

이 문제는 ‘독립’의 정의만 알면 1초 만에 풀 수 있어요! 독립은 두 사건이 서로에게 아무런 영향을 주지 않는다는 뜻이죠.

(1) P(B|A): A가 일어났다는 조건이 붙었지만, 독립이므로 B의 확률에는 영향이 없어요. 따라서 P(B|A) = P(B) = 4/5 입니다.

(2) P(A|B): B가 일어났다는 조건이 붙었지만, 역시 A의 확률에는 영향이 없어요. 따라서 P(A|B) = P(A) = 1/2 입니다.

💡 참고: ‘독립’과 ‘배반’은 완전 다른 말!

학생들이 정말 많이 헷갈려 하는 부분이에요. ‘독립’과 ‘배반’은 비슷해 보이지만 전혀 다른 개념입니다.

• 배반: 두 사건이 **동시에 일어날 수 없는** 상황 (A∩B = Ø). 교집합이 0인 사건.
• 독립: 두 사건이 서로의 **확률에 영향을 주지 않는** 관계. (P(B|A) = P(B))

예를 들어, 주사위를 던질 때 ‘홀수가 나오는 사건’과 ‘짝수가 나오는 사건’은 동시에 일어날 수 없으므로 **배반**이지만, 서로의 확률에 영향을 주므로(홀수가 나오면 짝수 나올 확률이 0이 됨) **종속**이랍니다. 절대 헷갈리지 마세요!