✨ 핵심만정리

조건부확률이란, 어떤 사건 A가 일어났다는 **조건(힌트)이 주어졌을 때** 사건 B가 일어날 확률을 말해요. 기호로는 **P(B|A)** 라고 쓰고, ‘A가 주어졌을 때 B의 확률’이라고 읽어요.

🎨 개념정리: 표본공간이 줄어드는 마법

안녕하세요, 수학포스팅입니다! 만약 ‘주사위를 던졌는데 홀수가 나왔다’는 힌트를 먼저 들었다면, 그 눈이 1일 확률은 얼마일까요? 1/6이 아니라 1/3이겠죠? 이처럼 새로운 정보(조건)가 주어지면 전체 세상(표본공간)이 바뀌고, 그에 따라 확률도 변해요. 이게 바로 **조건부확률**의 핵심입니다!

핵심 아이디어: 줄어드는 표본공간

원래 주사위 던지기의 표본공간은 S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 이었어요. 하지만 ‘홀수가 나왔다’는 조건(사건 A)이 주어지는 순간, 우리의 세상은 A = {1, 3, 5}로 줄어들어요. 짝수들은 이제 고려할 필요가 없는 거죠.

• 새로운 전체 경우의 수 (분모) = n(A) = 3
• 그 안에서 ‘1의 눈이 나오는 사건’의 경우의 수 (분자) = 1

따라서 확률은 1/3이 되는 거예요. 이 원리를 일반화한 것이 바로 P(B|A) = n(A∩B) / n(A) 랍니다. A라는 새로운 세상 안에서 B가 일어나는 경우의 비율을 보는 거죠.

표로 이해하는 조건부확률

어느 학급 30명을 대상으로 안경 착용 여부를 조사했더니 아래 표와 같았어요.

	안경 착용(B)	안경 미착용(Bᶜ)	합계
남학생(A)	8	10	18
여학생(Aᶜ)	4	8	12
합계	12	18	30

이때 ‘뽑은 한 명이 **남학생이었을 때(조건)**, 그 학생이 **안경을 썼을** 확률’ P(B|A)를 구해봅시다.

조건: 남학생이 뽑혔다. ➝ 우리의 세상은 이제 30명이 아닌 **18명의 남학생**으로 줄어들었어요. (새로운 분모 = 18)

사건: 그 세상(남학생) 안에서 안경 쓴 학생은 **8명**입니다. (새로운 분자 = 8)

👀 개념확인 문제 풀어보기!

문제: 한 개의 주사위를 던져 **짝수의 눈이 나왔을 때(조건)**, 그 눈이 **소수**일 확률을 구하시오.

풀이:

1. 조건으로 표본공간 줄이기 (분모):
‘짝수의 눈이 나왔다’는 조건이 있으므로, 새로운 표본공간은 A = {2, 4, 6} 이고, 경우의 수는 n(A) = 3 입니다.

2. 새로운 표본공간에서 사건 찾기 (분자):
이 새로운 세상 {2, 4, 6} 안에서 소수인 것은 ‘2’ 하나뿐이죠. 즉, 교집합 A∩B = {2} 이고, 경우의 수는 n(A∩B) = 1 입니다.

3. 확률 계산하기:

정답은 1/3 입니다.

💡 참고: P(B|A)와 P(A|B)는 다르다!

조건부확률에서 가장 주의할 점은 P(B|A)와 P(A|B)를 헷갈리지 않는 거예요. 두 확률은 완전히 다른 의미를 갖는답니다!

• P(안경|남학생): 남학생 중에서 안경 쓴 학생의 비율 (8/18)
• P(남학생|안경): 안경 쓴 학생 중에서 남학생의 비율 (8/12)

이처럼 조건, 즉 **분모가 무엇으로 바뀌는지**를 명확히 파악하는 것이 조건부확률 문제 해결의 핵심입니다.