✨ 핵심만정리

파스칼의 삼각형은 이항정리의 계수(nCr)들을 삼각형 모양으로 배열한 그림이에요. 이 삼각형은 아주 간단한 규칙으로 만들 수 있답니다.

• 규칙 1: 맨 위 첫 줄과 각 줄의 양쪽 끝은 항상 1이다.
• 규칙 2: 삼각형 안의 숫자는 자신의 바로 위, 양쪽에 있는 두 숫자의 합과 같다.

이 규칙 2번을 조합 기호로 표현하면 다음과 같은 중요한 공식이 돼요.

🎨 개념정리: 파스칼의 삼각형 직접 만들기

안녕하세요, 수학포스팅입니다! 숫자들이 아름다운 규칙에 따라 피라미드처럼 쌓여있는 ‘파스칼의 삼각형’을 아시나요? 이 삼각형 안에는 (a+b)ⁿ을 전개했을 때 나타나는 모든 계수가 숨겨져 있어요. 직접 만들어보며 그 비밀을 파헤쳐 봅시다.

1
1   1
1   2   1
1   3   3   1
1   4   6   4   1
1   5   10   10   5   1
…

위 삼각형의 각 줄은 이항계수와 정확히 일치해요.

• (a+b)¹ 의 계수: 1, 1
• (a+b)² 의 계수: 1, 2, 1
• (a+b)³ 의 계수: 1, 3, 3, 1
• (a+b)⁴ 의 계수: 1, 4, 6, 4, 1

삼각형에 숨겨진 조합(C)의 성질들

파스칼의 삼각형을 잘 살펴보면 우리가 배운 조합의 성질들이 그대로 나타나요.

1. 양쪽 끝은 모두 1: 이는 nC0=1, nCn=1 이라는 성질과 같아요.
2. 좌우 대칭: 각 줄은 가운데를 기준으로 완벽한 대칭을 이루죠. 4번째 줄의 4와 4는 각각 4C1, 4C3으로, nCr = nC(n-r) 성질을 보여줘요.
3. 위의 두 수의 합: 가장 중요한 규칙이죠. 4번째 줄의 6은 바로 윗줄의 3과 3을 더한 값이에요. 조합 기호로는 4C2 = 3C1 + 3C2 라는 뜻! 이것이 바로 파스칼 삼각형의 핵심 원리인 nCr = (n-1)C(r-1) + (n-1)Cr 입니다.

👀 개념확인 문제 풀어보기!

문제: 파스칼의 삼각형을 이용하여 (a-2b)⁴ 을 전개하시오.

풀이:

1. 먼저 (a+b)⁴의 계수를 파스칼의 삼각형에서 찾아요. 바로 ‘1, 4, 6, 4, 1’ 이죠.
2. 이제 이 계수들을 이용하여 전개식의 틀을 만들어요. 이 문제에서는 a 역할은 그대로 ‘a’, b 역할은 ‘-2b’가 한다는 점에 주의해야 해요!
3. 계수에 맞춰 항들을 차례대로 써주면 됩니다.

1×(a)⁴ + 4×(a)³(-2b)¹ + 6×(a)²(-2b)² + 4×(a)¹(-2b)³ + 1×(a)⁰(-2b)⁴

이제 각 항을 깔끔하게 정리해볼까요?

a⁴ – 8a³b + 24a²b² – 32ab³ + 16b⁴

파스칼의 삼각형 덕분에 조합을 일일이 계산하지 않아도 쉽게 전개할 수 있네요!

💡 참고: 숨겨진 패턴, 하키 스틱!

파스칼의 삼각형에는 오늘 배운 성질 말고도 더 신기하고 재미있는 비밀들이 숨어있어요. 예를 들어, 삼각형의 가장자리에서 대각선으로 숫자들을 쭉 더하면, 그 합이 마지막에 꺾이는 지점의 숫자와 같아지는 ‘하키 스틱 패턴’이라는 것도 있답니다! 이 신기한 패턴에 대해서는 다음 포스팅에서 더 자세히 다루어 볼게요!