✨ 핵심만정리

다항정리는 (a+b+c)처럼 항이 3개 이상인 식의 거듭제곱을 전개할 때, 특정 항의 계수를 구하는 방법이에요. 이항정리의 확장판이라고 생각하면 쉬워요!

핵심은 **’같은 것이 있는 순열’**을 이용하는 것입니다.

🎨 개념정리: ‘같은 것이 있는 순열’로 계수 찾기!

안녕하세요, 수학포스팅입니다! 이항정리로 (a+b)ⁿ은 정복했는데, 만약 (x+y+z)⁸처럼 항이 3개로 늘어나면 어떻게 할까요? 이항정리를 두 번 쓰는 복잡한 방법도 있지만, 훨씬 직관적이고 쉬운 방법이 있어요. 바로 이전에 배운 **’같은 것이 있는 순열’**을 떠올리는 거예요!

📝 (x+y+z)⁸ 전개식에서 계수 찾기

(x+y+z)⁸은 (x+y+z)라는 괄호를 8번 곱하는 거죠. 여기서 특정 항, 예를 들어 **x²yz⁵**이 어떻게 만들어지는지 생각해봅시다.

이 항은 8개의 괄호에서 ‘x’를 2번, ‘y’를 1번, ‘z’를 5번 뽑아서 곱해야만 만들어져요.

이건 마치 ‘x, x, y, z, z, z, z, z’ 라는 8개의 문자를 일렬로 나열하는 것과 똑같은 상황이지 않나요?

바로 ‘같은 것이 있는 순열’ 문제로 바뀌는 순간입니다!

• 전체 문자 개수(n) = 8개
• 같은 문자 x의 개수(p) = 2개
• 같은 문자 y의 개수(q) = 1개
• 같은 문자 z의 개수(r) = 5개

따라서 x²yz⁵ 항의 계수는 이 문자들을 나열하는 경우의 수와 같습니다.

이처럼 (a+b+c)ⁿ에서 aᵖb⁹cʳ 항의 계수는 a를 p개, b를 q개, c를 r개 나열하는 ‘같은 것이 있는 순열’의 수와 완벽하게 일치한답니다.

👀 개념확인 문제 풀어보기!

문제: (x+y+z)⁸ 의 전개식에서 x²yz⁵ 항의 계수를 구하시오.

풀이:

개념정리에서 배운 원리를 그대로 적용해 봅시다!

• 전체 제곱 수 n = 8
• x의 지수 p = 2
• y의 지수 q = 1
• z의 지수 r = 5

(지수의 합 p+q+r = 2+1+5 = 8 이므로 n과 일치하네요!)

이제 ‘같은 것이 있는 순열’ 공식을 사용하면 끝!

따라서 정답은 168입니다.

💡 참고: 이항정리는 다항정리의 특별한 경우!

다항정리 공식을 보니 이항정리와 정말 비슷하게 생기지 않았나요?

• 다항정리 계수 (항 3개): n! / (p!q!r!) (단, p+q+r = n)
• 이항정리 계수 (항 2개): n! / (p!q!) (단, p+q = n)

사실 이항정리의 계수인 nCr은 n! / (r!(n-r)!) 잖아요? 여기서 n-r을 q라고 생각하면 n! / (r!q!) 로, 다항정리 공식과 형태가 똑같아요! 결국 이항정리는 항이 2개인, 다항정리의 아주 특별하고 간단한 버전이었던 셈이죠.