⭐ 핵심만정리

삼각형의 변의 길이와 각의 사인 값, 그리고 그 삼각형에 외접하는 원의 반지름 사이에는 아주 멋진 관계가 숨어있어요! 그것이 바로 ‘사인법칙’이랍니다! 😮

• 사인법칙이란? 삼각형 ABC에서 세 각 A, B, C의 대변의 길이를 각각 a, b, c라 하고, 외접원의 반지름의 길이를 R이라고 할 때, 다음 관계가 성립해요.

  asin A = bsin B = csin C = 2R

• 사인법칙은 언제 사용할까?
  • 한 변의 길이와 두 각의 크기를 알 때 (다른 변의 길이를 구할 수 있어요!)
  • 두 변의 길이와 그 끼인각이 아닌 다른 한 각의 크기를 알 때 (다른 각의 크기나 변의 길이를 구할 수 있어요!)
  • 외접원의 반지름의 길이를 구하고 싶을 때!

이 아름다운 공식을 이용하면 삼각형의 숨겨진 정보들을 쏙쏙 알아낼 수 있답니다! 😉

📚 개념정리

안녕, 삼각형 탐험가 친구들! 🧭 오늘은 삼각형의 변과 각, 그리고 그 삼각형을 둘러싸는 원(외접원) 사이에 숨겨진 놀라운 규칙, 바로 ‘사인법칙’에 대해 알아볼 거예요. 이 법칙을 알면 삼각형에 대한 더 많은 비밀을 풀 수 있답니다! 😊

사인법칙이 뭐길래? 삼각형의 변과 각, 외접원의 연결고리! 🔗

어떤 삼각형 ABC가 있다고 해봅시다. 각 A, B, C와 마주 보는 변의 길이를 각각 a, b, c라고 하고, 이 삼각형에 외접하는 원(삼각형의 세 꼭짓점을 모두 지나는 원)의 반지름의 길이를 R이라고 할 때, 다음과 같은 아주 멋진 관계가 성립해요.

asin A = bsin B = csin C = 2R

이것을 바로 사인법칙이라고 불러요! 이 법칙은 삼각형의 각 변의 길이를 그 변과 마주 보는 각의 사인 값으로 나눈 비율이 항상 일정하고, 그 비율이 바로 외접원의 지름(2R)과 같다는 것을 의미해요.

사인법칙은 어떻게 나왔을까? (간단한 증명 아이디어!) 🤔

사인법칙은 삼각형의 각이 예각, 직각, 둔각일 때 모두 성립하는데, 예각인 경우를 예로 들어 간단히 살펴볼게요.

삼각형 ABC의 꼭짓점 A를 지나는 외접원의 지름 A’B를 그리면, 원주각의 성질에 의해 ∠A’CB = 90°이고, ∠BA’C = ∠BAC = A (같은 호 BC에 대한 원주각)가 돼요. 직각삼각형 A’BC에서 sin A = sin A’ = BC / A’B = a / 2R 이므로, a / sin A = 2R 이라는 관계를 얻을 수 있죠! 나머지 각 B, C에 대해서도 같은 방법으로 증명할 수 있답니다.

사인법칙, 언제 사용하면 좋을까? 🛠️

사인법칙은 삼각형의 여러 요소들 사이의 관계를 알려주기 때문에, 다음과 같은 상황에서 아주 유용하게 사용될 수 있어요.

• 한 변의 길이와 양 끝 각이 아닌 다른 한 각의 크기를 알 때, 나머지 변의 길이나 각의 크기를 구할 때.
  예) 변 a의 길이와 각 A, 각 B의 크기를 알면, b/sin B = a/sin A를 이용해서 변 b의 길이를 구할 수 있어요. (각 C = 180° – (A+B)도 알 수 있죠!)
• 두 변의 길이와 그중 한 변의 대각의 크기를 알 때, 다른 각의 크기를 구할 때.
  예) 변 a, b의 길이와 각 A의 크기를 알면, sin B = (b sin A) / a를 이용해서 각 B의 크기를 구할 수 있어요. (단, 이때 B가 두 개 존재할 수도 있음에 유의!)
• 삼각형의 외접원의 반지름 R의 길이를 구하고 싶을 때.
  한 변의 길이와 그 대각의 사인 값만 알면 a/sin A = 2R 공식을 바로 사용할 수 있죠!

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✅ 개념확인

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💡 참고