⭐ 핵심만정리

삼각방정식과 부등식의 해가 항상 복잡한 범위로 나오는 건 아니에요! 때로는 해가 아예 없거나, 모든 실수가 해가 되는 아주 특별한 경우도 있답니다. 😮 (단, k는 상수예요!)

• 삼각방정식 sin x = k 또는 cos x = k 에서 |k| > 1 일 때:
  • 해는 없다! (사인, 코사인 값은 -1과 1 사이를 벗어날 수 없으니까요!)
• 삼각부등식의 특수한 해:
  • sin x ≥ k 또는 cos x ≥ k 에서 k > 1 이면: 해는 없다.
  • sin x ≥ k 또는 cos x ≥ k 에서 k ≤ -1 이면: 해는 모든 실수. (사인, 코사인은 항상 -1 이상이니까요!)
  • sin x ≤ k 또는 cos x ≤ k 에서 k < -1 이면: 해는 없다.
  • sin x ≤ k 또는 cos x ≤ k 에서 k ≥ 1 이면: 해는 모든 실수. (사인, 코사인은 항상 1 이하이니까요!)

탄젠트 함수는 치역이 모든 실수이므로, tan x = k는 항상 해를 가지고, 부등식도 항상 해를 가지거나 해가 없는 극단적인 경우는 잘 나타나지 않아요. (점근선 제외)

이런 특수한 경우는 그래프를 그려보면 왜 그렇게 되는지 명확하게 알 수 있답니다! 😉

📚 개념정리

안녕, 삼각함수 마법사 친구들! 🧙‍♂️ 오늘은 삼각방정식과 부등식을 풀다 보면 만나게 되는 아주 특별한 상황들, 즉 해가 아예 없거나 또는 모든 실수가 해가 되는 경우에 대해 알아볼 거예요. 마치 마법처럼 답이 간단하게(?) 나오는 경우들이랍니다! 😊

이런 특수한 해는 주로 sin x와 cos x의 치역, 즉 -1 ≤ sin x ≤ 1 과 -1 ≤ cos x ≤ 1 이라는 성질 때문에 발생해요.

1. 삼각방정식의 특수한 해 🎯

방정식 sin x = k 또는 cos x = k에서, 만약 상수 k의 절댓값이 1보다 크다면 (|k| > 1, 즉 k > 1 또는 k < -1), 이 방정식을 만족하는 실수 x는 존재하지 않아요!

왜냐하면 sin x와 cos x의 값은 아무리 커도 1, 아무리 작아도 -1을 벗어날 수 없기 때문이죠. 그래프로 생각하면 y = sin x (또는 y = cos x) 그래프와 직선 y = k가 만나지 않는다는 뜻이에요.

하지만 탄젠트 함수 y = tan x는 치역이 실수 전체이므로, tan x = k는 k값에 관계없이 항상 해를 가진답니다. (단, 정의역 내에서!)

2. 삼각부등식의 특수한 해 🚦

삼각부등식에서도 k값에 따라 해가 없거나 모든 실수가 되는 경우가 있어요.

(1) sin x ≥ k 또는 cos x ≥ k 꼴

• 만약 k > 1이면: 해는 없다. (예: sin x ≥ 1.5는 만족하는 x가 없어요.)
• 만약 k ≤ -1이면: 해는 모든 실수. (예: sin x ≥ -2는 모든 x에 대해 항상 성립해요.)

(2) sin x ≤ k 또는 cos x ≤ k 꼴

• 만약 k < -1이면: 해는 없다. (예: cos x ≤ -1.2는 만족하는 x가 없어요.)
• 만약 k ≥ 1이면: 해는 모든 실수. (예: cos x ≤ 3은 모든 x에 대해 항상 성립해요.)

이런 특수한 경우는 각 삼각함수 그래프의 최댓값과 최솟값을 생각하면 쉽게 판단할 수 있답니다! 😉

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✅ 개념확인

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💡 참고