287 삼각방정식과 부등식의 풀이 (2) 🎭: 다양한 변신술!
⭐ 핵심만정리
기본적인 삼각방정식과 부등식을 넘어, 조금 더 복잡한 형태는 어떻게 풀까요? 변신 마법을 사용해 봐요! 🪄
- 전략 1: 한 종류의 삼각함수로 통일!
- sin2x + cos2x = 1을 이용하여 sin x 또는 cos x 중 하나로 통일해요.
- 그 후, sin x = t 또는 cos x = t로 치환해요. (중요! -1 ≤ t ≤ 1 범위 기억!)
- 전략 2: 각의 변환 공식 활용!
- sin(π/2 – x) = cos x, cos(π/2 – x) = sin x 등 각 변환 공식을 사용하여 하나의 삼각함수로 통일해요.
- 전략 3: tan x로 변환!
- 양변을 cos x 또는 cos2x로 나누어 tan x에 대한 식으로 바꿀 수 있는 경우도 있어요.
- 전략 4: 그래프의 교점 활용!
- 방정식 f(x) = g(x)의 해는 두 함수 y=f(x)와 y=g(x)의 그래프의 교점의 x좌표와 같아요.
- 부등식 f(x) > g(x)의 해는 y=f(x) 그래프가 y=g(x) 그래프보다 위쪽에 있는 부분의 x의 범위와 같아요.
어떤 전략을 사용하든, 최종적으로는 기본적인 삼각방정식 또는 부등식 형태로 만들어서 해결하게 된답니다! 😉
📚 개념정리
안녕, 삼각함수 마스터를 꿈꾸는 친구들! 🚀 지난 시간에는 기본적인 삼각방정식과 부등식을 푸는 방법을 배웠죠? 오늘은 조금 더 다양한 형태의 삼각방정식과 부등식을 만났을 때, 어떤 마법 같은 변신술로 문제를 해결할 수 있는지 알아볼 거예요! 😊
복잡한 삼각방정식과 부등식, 어떻게 풀까? 🤔
여러 가지 삼각함수가 섞여 있거나, 각의 형태가 복잡한 경우에는 다음과 같은 전략들을 사용해서 우리가 풀 수 있는 기본 형태로 바꿔주는 것이 중요해요.
1. 한 종류의 삼각함수로 통일하기! 🎭 (치환 활용)
방정식이나 부등식에 sin x와 cos x가 함께 등장한다면, 마법의 공식 sin2x + cos2x = 1을 이용해서 하나의 삼각함수로 통일할 수 있어요!
- sin2x = 1 – cos2x
- cos2x = 1 – sin2x
이렇게 하나의 삼각함수로 통일한 다음에는, 그 삼각함수를 t로 치환해서 t에 대한 이차방정식이나 이차부등식 등으로 바꿔서 풀면 된답니다.
아주 중요한 점! sin x = t 또는 cos x = t로 치환할 때는 t의 범위가 -1 ≤ t ≤ 1이라는 것을 절대로 잊으면 안 돼요! (사인과 코사인의 치역이니까요!)
예) 방정식 2sin2x + cos x – 1 = 0 (0 ≤ x < 2π) (숫자 변경: 원본은 2cos²x-sinx-1=0)
sin2x = 1 – cos2x를 대입하면,
2(1 – cos2x) + cos x – 1 = 0
2 – 2cos2x + cos x – 1 = 0
-2cos2x + cos x + 1 = 0 ➡️ 2cos2x – cos x – 1 = 0
cos x = t로 치환하면 (-1 ≤ t ≤ 1), 2t2 – t – 1 = 0.
(2t+1)(t-1) = 0 ➡️ t = -1/2 또는 t = 1. (두 값 모두 -1 ≤ t ≤ 1 범위 만족!)
- cos x = -1/2 일 때: x = 2π/3, 4π/3
- cos x = 1 일 때: x = 0
따라서 해는 x = 0, 2π/3, 4π/3 입니다.
2. 각의 변환 공식 활용하기! 🔄
만약 sin(π/2 – x)나 cos(π + x)처럼 각의 형태가 복잡하다면, 각 변환 공식을 이용해서 sin x, cos x, tan x 형태로 간단히 바꿔준 다음 문제를 해결할 수 있어요.
3. tan x로 변환하기! (양변을 cos x 또는 cos2x로 나누기)
a sin x = b cos x와 같은 형태의 방정식은 양변을 cos x (cos x ≠ 0 가정)로 나누어 a tan x = b, 즉 tan x = b/a 꼴로 바꿔서 풀 수 있어요.
또는 a sin2x + b sin x cos x + c cos2x = 0과 같은 형태는 양변을 cos2x (cos x ≠ 0 가정)로 나누어 a tan2x + b tan x + c = 0과 같이 탄젠트에 대한 이차방정식으로 만들 수 있답니다.
4. 그래프의 교점을 이용하기! 📈📉
모든 방정식 f(x) = g(x)의 해는 두 함수 y = f(x)와 y = g(x)의 그래프의 교점의 x좌표와 같아요.
마찬가지로 부등식 f(x) > g(x)의 해는 y = f(x)의 그래프가 y = g(x)의 그래프보다 위쪽에 있는 부분의 x의 값의 범위와 같답니다.
복잡한 삼각방정식이나 부등식도 그래프를 이용하면 해의 개수나 범위를 직관적으로 파악하는 데 도움이 될 수 있어요.
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✅ 개념확인
✏️ 문제: 0 ≤ x < 2π일 때, 다음 방정식과 부등식을 푸시오.
(1) 방정식: 2cos2x + 3sin x – 3 = 0
(2) 부등식: 2sin2x – cos x – 1 > 0
(숫자 및 형태 변경: 원본은 (1) 2sin²x-cosx-1=0 (2) 2cos²x+sinx-1≤0)💡 풀이:
(1) 방정식: 2cos2x + 3sin x – 3 = 0
cos2x = 1 – sin2x를 대입하여 sin x로 통일해요.
2(1 – sin2x) + 3sin x – 3 = 0
2 – 2sin2x + 3sin x – 3 = 0
-2sin2x + 3sin x – 1 = 0
2sin2x – 3sin x + 1 = 0
sin x = t로 치환하면 (-1 ≤ t ≤ 1), 2t2 – 3t + 1 = 0.
(2t-1)(t-1) = 0 ➡️ t = 1/2 또는 t = 1. (두 값 모두 -1 ≤ t ≤ 1 범위 만족!)
- sin x = 1/2 일 때: x = π/6, 5π/6
- sin x = 1 일 때: x = π/2
따라서 해는 x = π/6, π/2, 5π/6 입니다.
(2) 부등식: 2sin2x – cos x – 1 > 0
sin2x = 1 – cos2x를 대입하여 cos x로 통일해요.
2(1 – cos2x) – cos x – 1 > 0
2 – 2cos2x – cos x – 1 > 0
-2cos2x – cos x + 1 > 0
2cos2x + cos x – 1 < 0 (양변에 -1을 곱하고 부등호 방향 바꾸기!)
cos x = t로 치환하면 (-1 ≤ t ≤ 1), 2t2 + t – 1 < 0.
(2t-1)(t+1) < 0. 이 이차부등식의 해는 -1 < t < 1/2.
치환한 t의 범위 -1 ≤ t ≤ 1와 공통 범위를 구해도 -1 < t < 1/2.
따라서 -1 < cos x < 1/2 입니다.
y=cos x 그래프를 그려서 이 범위를 만족하는 x의 값을 0 ≤ x < 2π에서 찾아요.
- cos x = -1일 때 x = π.
- cos x = 1/2일 때 x = π/3, 5π/3.
-1 < cos x < 1/2 인 범위
(x=π 제외, π/3
그래프에서 -1 < cos x < 1/2를 만족하는 범위는 π/3 < x < π 또는 π < x < 5π/3 입니다.
(또는 π/3 < x < 5π/3 이고 x ≠ π )
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💡 참고
삼각방정식이나 부등식을 풀 때, 특히 치환을 사용하는 경우 치환한 문자의 범위를 꼭 신경 써야 해요! 🚦
sin x = t 또는 cos x = t로 치환했다면, t는 -1 이상 1 이하의 값만 가질 수 있어요 (-1 ≤ t ≤ 1). 만약 t에 대한 방정식을 풀어서 t=2와 같은 해가 나왔다면, 그건 sin x = 2를 만족하는 실수 x가 없다는 뜻이므로 해가 될 수 없답니다.
또한, tan x = t로 치환했다면, t는 모든 실수가 될 수 있어요. 하지만 tan x는 x = nπ + π/2 (n은 정수)에서는 정의되지 않는다는 점도 기억해야겠죠?
항상 기본적인 삼각함수의 성질과 그래프를 떠올리면서 문제를 해결하면 실수를 줄일 수 있을 거예요! 😉