282 삼각함수 그래프의 이동 🎢: 평행이동과 대칭이동 총정리!
⭐ 핵심만정리
기본 삼각함수 그래프를 평행이동하거나 대칭이동하면 어떻게 변할까요? 그 비밀을 파헤쳐 봅시다! 🧐
기본 삼각함수 y = sin x, y = cos x, y = tan x의 그래프를 이동시키면 최댓값, 최솟값, 주기, 점근선 등이 변할 수 있어요.
- y = a sin(bx+c) + d, y = a cos(bx+c) + d 형태:
- 최댓값: |a| + d
- 최솟값: -|a| + d
- 주기: 2π / |b|
- (x축 평행이동: -c/b 만큼, y축 평행이동: d 만큼)
- y = a tan(bx+c) + d 형태:
- 최댓값, 최솟값: 없음 (치역은 실수 전체)
- 주기: π / |b|
- 점근선: bx+c = nπ + π/2 ➡️ x = (1/b)(nπ + π/2 – c) (n은 정수)
- (x축 평행이동: -c/b 만큼, y축 평행이동: d 만큼)
- 대칭이동 규칙은 동일! (x축 대칭: y → -y, y축 대칭: x → -x, 원점 대칭: x → -x, y → -y)
식을 y = a sin b(x-p) + q (또는 cos, tan) 형태로 바꿔서 생각하면 평행이동 관계를 더 쉽게 파악할 수 있어요! 😉
📚 개념정리
안녕, 그래프 변신의 마법사 친구들! ✨ 오늘은 기본 삼각함수 그래프(sin x, cos x, tan x)에 여러 가지 변신 마법(평행이동, 대칭이동, 그리고 진폭과 주기 변화)을 걸어서 만드는 일반적인 형태의 삼각함수 그래프에 대해 알아볼 거예요. 이 마법들을 이해하면 어떤 복잡한 삼각함수 그래프도 자신 있게 그릴 수 있답니다! 😊
1. y = a sin(bx+c) + d, y = a cos(bx+c) + d 그래프 🌊
이 함수들은 기본형 y = sin x 또는 y = cos x에서 어떻게 변신한 걸까요?
식을 y = a sin b(x + c/b) + d 또는 y = a cos b(x + c/b) + d 형태로 바꿔서 생각하면 쉬워요.
- |a|의 역할 (진폭 변화):
- |a|는 그래프의 위아래 폭(진폭)을 결정해요.
- 최댓값은 |a| + d가 되고, 최솟값은 -|a| + d가 된답니다. (원래 sin, cos의 최댓값 1, 최솟값 -1이 |a|배 되고 d만큼 이동!)
- 만약 a < 0이면 그래프는 x축에 대해 뒤집힌 모양이 돼요.
- |b|의 역할 (주기 변화):
- |b|는 그래프의 주기를 변화시켜요.
- 새로운 주기는 2π / |b|가 된답니다. (|b|가 클수록 주기는 짧아져서 그래프가 더 자주 반복돼요!)
- -c/b의 역할 (x축 평행이동):
- 그래프를 x축 방향으로 -c/b만큼 평행이동시켜요.
- d의 역할 (y축 평행이동):
- 그래프를 y축 방향으로 d만큼 평행이동시켜요. (중심선이 y=d가 되는 거죠!)
2. y = a tan(bx+c) + d 그래프 🎢
탄젠트 함수도 비슷한 규칙을 따라요! 식을 y = a tan b(x + c/b) + d 형태로 생각해요.
- a의 역할 (세로 확대/축소):
- a는 그래프의 세로 방향 늘림/줄임에 관여하지만, 탄젠트 함수는 최댓값, 최솟값이 없으므로 진폭 변화와는 조금 달라요. 그래프 모양이 좀 더 뾰족해지거나 완만해질 수 있어요.
- |b|의 역할 (주기 변화):
- 새로운 주기는 π / |b|가 된답니다. (탄젠트의 기본 주기는 π였죠!)
- -c/b의 역할 (x축 평행이동):
- 그래프를 x축 방향으로 -c/b만큼 평행이동시켜요.
- d의 역할 (y축 평행이동):
- 그래프를 y축 방향으로 d만큼 평행이동시켜요.
- 점근선 변화: 원래 y = tan x의 점근선은 x = nπ + π/2였죠?
y = a tan(bx+c) + d의 점근선은 괄호 안의 bx+c가 원래 점근선 위치가 되도록 하는 x값을 찾으면 돼요.
즉, bx+c = nπ + π/2 ➡️ x = (1/b)(nπ + π/2 – c) (n은 정수)
대칭이동 규칙은 지수함수, 로그함수와 똑같아요! x축 대칭은 y 대신 -y, y축 대칭은 x 대신 -x, 원점 대칭은 둘 다 바꿔주면 된답니다.
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✅ 개념확인
✏️ 문제: 함수 y = 2sin(πx – π/2) + 1의 최댓값, 최솟값, 주기를 구하고, 이 함수는 y = 2sin(πx)의 그래프를 어떻게 평행이동한 것인지 설명하시오.
(숫자 및 형태 변경: 원본은 y=2sin(x/2 – π/3))💡 풀이:
주어진 함수는 y = a sin(bx+c) + d 꼴에서 a=2, b=π, c=-π/2, d=1 입니다.
먼저 식을 y = a sin b(x-p) + q 형태로 바꿔볼게요.
y = 2sin(π(x – (π/2)/π)) + 1 = 2sin(π(x – 1/2)) + 1
이제 각 값을 구해봅시다!
- 최댓값: |a| + d = |2| + 1 = 2 + 1 = 3
- 최솟값: -|a| + d = -|2| + 1 = -2 + 1 = -1
- 주기: 2π / |b| = 2π / |π| = 2π / π = 2
평행이동 관계:
함수 y = 2sin(π(x – 1/2)) + 1은 y = 2sin(πx)의 그래프를
- x축의 방향으로 1/2만큼 (p = 1/2)
- y축의 방향으로 1만큼 (q = 1)
평행이동한 것입니다! 😄
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💡 참고
삼각함수 그래프의 이동 문제를 풀 때, 식의 형태를 y = a \cdot 삼각함수[b(x-p)] + q 꼴로 정확하게 변형하는 것이 중요해요! 🧐
예를 들어 y = sin(2x – π/3)이라면, 이것은 y = sin[2(x – π/6)]으로 바꿔서 x축 평행이동이 π/3이 아니라 π/6이라는 것을 파악해야 해요. x의 계수인 b로 묶어내는 과정을 잊지 마세요!
그리고 최댓값/최솟값은 a와 d의 영향을 받고, 주기는 b의 영향을 받는다는 점! 각 계수가 그래프의 어떤 부분에 영향을 주는지 연결해서 생각하면 복잡한 이동도 쉽게 이해할 수 있을 거예요. 😉