277 삼각함수 사이의 관계 🔗: sin, cos, tan의 숨겨진 연결고리!
⭐ 핵심만정리
삼각함수 삼총사, sin θ, cos θ, tan θ 사이에는 아주 중요한 관계식들이 숨어있어요! 이 두 가지는 꼭 기억해야 해요! 🤫
- 탄젠트와 사인, 코사인의 관계: tan θ = sin θcos θ (단, cos θ ≠ 0)
- 사인과 코사인의 제곱 관계 (가장 중요! ⭐): sin2θ + cos2θ = 1
이 관계식들은 삼각함수 값을 구하거나 식을 간단히 할 때 마법처럼 사용된답니다! ✨
📚 개념정리
안녕, 삼각함수 탐험가 친구들! 🧭 오늘은 삼각함수의 세 주인공, 사인(sin θ), 코사인(cos θ), 탄젠트(tan θ)가 서로 어떤 비밀스러운 관계를 맺고 있는지 알아볼 거예요. 이 관계들을 알면 하나의 삼각함수 값만 알아도 나머지 값들을 척척 구해낼 수 있답니다! 😊
삼각함수의 정의를 다시 한번 떠올려 볼까요? 원점 O를 중심으로 하고 반지름이 r인 원 위의 점 P(x, y)에 대하여, 동경 OP가 나타내는 각을 θ라고 할 때,
- sin θ = y/r
- cos θ = x/r
- tan θ = y/x (단, x ≠ 0)
이 정의들을 바탕으로 삼각함수 사이의 중요한 관계식 두 가지를 유도해 볼게요!
1. 탄젠트는 코사인 분의 사인! tan θ = sin θ / cos θ
탄젠트의 정의 tan θ = y/x에서 분자와 분모를 각각 r로 나누어 볼까요? (단, r ≠ 0이고, 이 관계식에서는 cos θ ≠ 0 즉, x ≠ 0이어야 해요.)
tan θ = yx = y/rx/r
어? 그런데 y/r은 sin θ이고, x/r은 cos θ잖아요! 따라서,
tan θ = sin θcos θ
정말 신기하죠? 탄젠트 값은 사인 값을 코사인 값으로 나눈 것과 똑같답니다!
2. 사인 제곱 더하기 코사인 제곱은 항상 1! sin2θ + cos2θ = 1 (가장 중요!)
이것은 삼각함수 관계식 중에서 가장 중요하고 많이 사용되는 공식이에요! 피타고라스 정리와 아주 밀접한 관련이 있답니다.
점 P(x, y)는 반지름이 r인 원 위의 점이므로, 원의 방정식 x2 + y2 = r2을 만족해요. (피타고라스 정리 생각나죠?)
이 등식의 양변을 r2으로 나누어 볼게요. (r > 0이므로 r2 ≠ 0)
x2r2 + y2r2 = r2r2
(xr)2 + (yr)2 = 1
그런데 x/r = cos θ 이고 y/r = sin θ 이므로, 이 식은 바로!
cos2θ + sin2θ = 1
또는 순서를 바꿔서 sin2θ + cos2θ = 1
이 된답니다! 어떤 각 θ에 대해서든 사인 값의 제곱과 코사인 값의 제곱을 더하면 항상 1이 된다는 정말 놀라운 성질이에요! (참고로 sin2θ는 (sin θ)2와 같은 뜻이에요.)
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✅ 개념확인
✏️ 문제 1: sin θ = 4/5이고 θ가 제2사분면의 각일 때, cos θ와 tan θ의 값을 구하시오.
(숫자 변경: 원본은 sinθ=3/5, 제2사분면)💡 풀이 1:
먼저 sin2θ + cos2θ = 1을 이용해서 cos θ의 값을 구해봅시다.
(4/5)2 + cos2θ = 1
16/25 + cos2θ = 1
cos2θ = 1 – 16/25 = 9/25
따라서 cos θ = ±√(9/25) = ±3/5 입니다.
그런데 θ가 제2사분면의 각이므로, cos θ의 값은 음수여야 해요 (얼싸안고!).
그러므로 cos θ = -3/5 입니다.
이제 tan θ = sin θ / cos θ를 이용해서 tan θ의 값을 구하면,
tan θ = (4/5) / (-3/5) = (4/5) × (-5/3) = -4/3 입니다.
답: cos θ = -3/5, tan θ = -4/3 😄
✏️ 문제 2: sin θ + cos θ = 1/2일 때, 다음 식의 값을 구하시오.
(1) sin θ cos θ
(2) sin3θ + cos3θ
💡 풀이 2:
(1) sin θ cos θ
주어진 식 sin θ + cos θ = 1/2의 양변을 제곱해 봅시다.
(sin θ + cos θ)2 = (1/2)2
sin2θ + 2sin θ cos θ + cos2θ = 1/4
여기서 sin2θ + cos2θ = 1이므로,
1 + 2sin θ cos θ = 1/4
2sin θ cos θ = 1/4 – 1 = -3/4
따라서 sin θ cos θ = (-3/4) ÷ 2 = -3/8 입니다.
(2) sin3θ + cos3θ
곱셈 공식 a3 + b3 = (a+b)(a2 – ab + b2) 또는 a3 + b3 = (a+b)3 – 3ab(a+b)를 이용할 수 있어요. 두 번째 공식을 사용해 볼게요.
sin3θ + cos3θ = (sin θ + cos θ)3 – 3sin θ cos θ (sin θ + cos θ)
문제에서 sin θ + cos θ = 1/2이고, (1)에서 sin θ cos θ = -3/8임을 구했으니 대입하면:
= (1/2)3 – 3(-3/8)(1/2)
= 1/8 – (-9/16) = 1/8 + 9/16
= 2/16 + 9/16 = 11/16 입니다. 🥳
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💡 참고
삼각함수 사이의 관계식, 특히 sin2θ + cos2θ = 1은 정말 정말 중요해요! 마치 피타고라스 정리처럼 삼각함수 문제를 푸는 데 아주 기본적이면서도 강력한 도구가 된답니다. 🛠️
이 제곱 관계식을 변형해서 다음과 같은 식들도 자주 사용돼요:
- sin2θ = 1 – cos2θ
- cos2θ = 1 – sin2θ
또한, tan θ = sin θ / cos θ 관계식을 sin2θ + cos2θ = 1의 양변을 cos2θ로 나누면 (cos θ ≠ 0일 때),
(sin2θ/cos2θ) + (cos2θ/cos2θ) = 1/cos2θ ➡️ tan2θ + 1 = sec2θ 라는 새로운 관계식도 얻을 수 있어요. (여기서 sec θ = 1/cos θ는 ‘시컨트’라고 읽고, 나중에 더 자세히 배워요!)
마찬가지로 sin2θ로 나누면 1 + cot2θ = cosec2θ 도 얻을 수 있답니다. (cot θ = 1/tan θ, cosec θ = 1/sin θ)
이처럼 삼각함수들은 서로 얽히고설킨 재미있는 관계들을 가지고 있어요! 😉