264 로그함수의 특별한 성질 🗝️: 함수값 계산의 또 다른 열쇠!
⭐ 핵심만정리
로그함수 f(x) = logax (a > 0, a ≠ 1)는 로그의 성질 덕분에 아주 특별하고 재미있는 성질들을 가져요! (단, p > 0, q > 0이고, n은 실수예요!)
- ① 기본값 확인!: f(1) = 0, f(a) = 1
- ② 곱셈이 덧셈으로!: f(pq) = f(p) + f(q) (즉, loga(pq) = logap + logaq)
- ③ 나눗셈이 뺄셈으로!: f(p/q) = f(p) – f(q) (즉, loga(p/q) = logap – logaq)
- ④ 거듭제곱이 곱셈으로!: f(pn) = n × f(p) (즉, logapn = n logap)
이 성질들은 로그함수 관련 문제를 풀 때 아주 유용하게 사용된답니다! 마치 비밀 열쇠 같아요! 🔑
📚 개념정리
안녕, 로그함수 마스터를 꿈꾸는 친구들! 🚀 로그함수 f(x) = logax (a > 0, a ≠ 1)는 그 자체로도 중요하지만, 우리가 이미 잘 알고 있는 ‘로그의 성질’과 만나면 더욱 특별한 능력들을 발휘한답니다. 이 성질들을 알면 로그함수의 함수값을 다루는 것이 훨씬 쉬워질 거예요! 함께 그 비밀을 파헤쳐 볼까요? 😊 (여기서 p > 0, q > 0이고, n은 실수라고 생각할게요!)
로그함수 f(x) = logax의 특별한 성질들! ✨
이 성질들은 모두 기본적인 로그의 성질(개념 245)에서 나온다는 것을 기억하면 이해하기 쉬워요!
1. f(1) = 0 그리고 f(a) = 1
가장 기본적인 값부터 확인해 볼까요?
- f(1) = loga1 = 0 (밑에 관계없이 진수가 1이면 로그 값은 0이니까요!)
- f(a) = logaa = 1 (밑과 진수가 같으면 로그 값은 1이니까요!)
로그함수 그래프가 항상 점 (1,0)을 지나고, 점 (a,1)을 지난다는 사실과 연결되죠?
2. f(pq) = f(p) + f(q) : 진수의 곱이 함수값의 합으로!
함수에 두 양수 p와 q의 곱 pq를 대입한 값은, 각각 p와 q를 대입한 함수값을 더한 것과 같아져요!
왜냐하면, f(pq) = loga(pq) 이죠. 로그의 성질에 의해 loga(pq) = logap + logaq 잖아요?
그리고 f(p) = logap, f(q) = logaq 이므로, 결국 f(pq) = f(p) + f(q)가 된답니다!
예) f(x) = log2x일 때, f(4 × 8) = f(32) = log232 = 5 이죠.
그리고 f(4) = log24 = 2, f(8) = log28 = 3 이므로, f(4) + f(8) = 2 + 3 = 5. 똑같네요!
3. f(p/q) = f(p) – f(q) : 진수의 나눗셈이 함수값의 차로!
이번에는 함수에 두 양수 p와 q의 나눗셈(몫) p/q를 대입한 값은, 각각의 함수값 f(p)에서 f(q)를 뺀 것과 같아져요!
이것도 로그의 성질 loga(p/q) = logap – logaq를 이용하면 금방 이해할 수 있어요.
f(p/q) = loga(p/q) = logap – logaq = f(p) – f(q) 랍니다!
예) f(x) = log2x일 때, f(32/4) = f(8) = log28 = 3 이죠.
그리고 f(32) = 5, f(4) = 2 이므로, f(32) – f(4) = 5 – 2 = 3. 역시 똑같네요!
4. f(pn) = n × f(p) : 진수의 거듭제곱이 함수값의 실수배로!
함수에 양수 p의 n제곱 pn을 대입한 값은, f(p)라는 함수값에 n을 곱한 것과 같아져요!
로그의 성질 logapn = n logap를 생각하면 바로 이해가 되죠?
f(pn) = logapn = n logap = n × f(p) 이랍니다!
예) f(x) = log2x일 때, f(43) = f(64) = log264 = 6 이죠.
그리고 f(4) = log24 = 2 이므로, 3 × f(4) = 3 × 2 = 6. 이것도 똑같네요! 신기하죠? 😄
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✅ 개념확인
✏️ 문제: 로그함수 f(x) = log5x에 대하여 다음 보기 중 옳은 것만을 있는 대로 고르시오.
보기
ㄱ. f(5) = 1
ㄴ. f(x \cdot y) = f(x) + f(y) (단, x>0, y>0)
ㄷ. f(x/y) = f(y) – f(x) (단, x>0, y>0)
ㄹ. 2f(x) = f(x2) (단, x>0)
(숫자 및 보기 내용 수정: 원본은 f(x)=log₃x, ㄱ.f(3)=1 ㄴ.f(10)=f(2)+f(5) ㄷ.f(4)=f(8)/f(2) ㄹ.3f(5)=f(15))💡 풀이:
로그함수 f(x) = log5x의 성질을 하나씩 확인해 봅시다!
- ㄱ. f(5) = 1
f(5) = log55 = 1. 따라서 옳습니다! (성질 ①) - ㄴ. f(x \cdot y) = f(x) + f(y)
f(x \cdot y) = log5(xy) 이고, 로그의 성질에 의해 log5(xy) = log5x + log5y 입니다.
그리고 f(x) = log5x, f(y) = log5y 이므로, f(x) + f(y)와 같아요. 따라서 옳습니다! (성질 ②) - ㄷ. f(x/y) = f(y) – f(x)
f(x/y) = log5(x/y) 이고, 로그의 성질에 의해 log5(x/y) = log5x – log5y = f(x) – f(y) 입니다.
따라서 f(y) – f(x)와는 순서가 다르므로 옳지 않아요. - ㄹ. 2f(x) = f(x2)
2f(x) = 2log5x 입니다. 로그의 성질에 의해 2log5x = log5x2 입니다.
그리고 f(x2) = log5x2 입니다.
따라서 2f(x) = f(x2)는 옳습니다! (성질 ④에서 n=2인 경우)
그러므로 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄹ 입니다! 🎉
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💡 참고
로그함수의 특별한 성질들은 결국 우리가 잘 알고 있는 로그의 기본 성질들을 함수 형태로 표현한 것뿐이에요! 😉
예를 들어, 성질 ② f(pq) = f(p) + f(q)는 로그의 성질 loga(pq) = logap + logaq를 그대로 함수 기호로 옮겨 적은 것이죠. 이렇게 로그의 기본 성질과 연결해서 생각하면 각 성질들이 왜 성립하는지 더 쉽게 이해하고 기억할 수 있을 거예요.
이 성질들은 지수함수의 특별한 성질과도 짝을 이루는 것을 발견했나요? 예를 들어 지수함수에서는 g(x+y) = g(x)g(y)였는데, 로그함수(지수함수의 역함수)에서는 f(xy) = f(x)+f(y)가 되죠. 입력값의 연산(덧셈/곱셈)이 함숫값의 연산(곱셈/덧셈)으로 바뀌는 모습이 재미있지 않나요? 🥳