⭐ 핵심만정리

로그함수 y = log_ax (a > 0, a ≠ 1)는 어떤 성질들을 가지고 있을까요? 지수함수의 단짝인 만큼 비슷한 듯 다른 특징들이 있답니다! 🎯

• 정의역: 진수 x는 항상 0보다 커야 해요! 즉, 양의 실수 전체의 집합.
• 치역: y값은 어떤 실수든 가능해요! 즉, 실수 전체의 집합.
• 항상 지나는 점: 밑 a의 값에 관계없이 항상 점 (1, 0)을 지나요. (log_a1 = 0이니까요!)
• 점근선: 그래프가 한없이 가까워지지만 만나지는 않는 선, 바로 y축 (직선 x=0)이에요.
• 증가/감소 (밑 a의 값에 따라 달라요!):
  • a > 1 이면: x값이 증가할 때 y값도 증가해요 (증가함수).
  • 0 < a < 1 이면: x값이 증가할 때 y값은 감소해요 (감소함수).
• 일대일함수: 서로 다른 x값(양수 범위 내에서)에 대해서는 항상 서로 다른 y값을 가져요. (그래서 역함수인 지수함수가 존재하죠!)

📚 개념정리

안녕, 그래프 분석가 친구들! 🧐 지난 시간에는 로그함수 y = log_ax의 그래프가 지수함수와 직선 y=x 대칭 관계를 이용하여 어떻게 그려지는지 살펴봤죠? 오늘은 그 그래프들을 보면서 로그함수가 어떤 중요한 성질들을 가지고 있는지 좀 더 자세히 알아볼 거예요. 이 성질들을 알면 로그함수를 더 깊이 이해하고 활용할 수 있게 된답니다! 😊

로그함수 y = log_ax (a > 0, a ≠ 1)의 그래프를 관찰하면 다음과 같은 주요 성질들을 발견할 수 있어요.

1. 정의역과 치역 🌍

로그함수 y = log_ax에서,

• 정의역 (즉, x가 될 수 있는 값의 범위)은 양의 실수 전체의 집합이에요. 로그의 진수는 항상 0보다 커야 한다는 조건 기억나죠? 그래서 x > 0이랍니다.
• 치역 (즉, y가 될 수 있는 값의 범위)은 실수 전체의 집합이에요. y값은 양수, 0, 음수 모든 값을 가질 수 있답니다. (지수함수의 정의역이 실수 전체였던 것을 생각해보세요!)

2. 항상 지나는 점과 점근선 📍🚧

• 로그함수 y = log_ax의 그래프는 밑 a의 값에 관계없이 항상 점 (1, 0)을 지나요. 왜냐하면 x=1을 대입하면 log_a1 = 0이 되기 때문이죠!
• 그리고 그래프는 y축 (직선 x=0)에 한없이 가까워지지만 절대로 만나지는 않아요. 그래서 y축을 로그함수의 점근선이라고 부른답니다.

3. 밑 a의 값에 따른 증가와 감소 📈📉

로그함수도 지수함수처럼 밑 a의 값에 따라 그래프가 증가하는지 감소하는지가 결정돼요.

• 밑 a > 1일 때 (예: y = log₂x):
  x의 값이 증가하면 y의 값도 함께 증가해요. 즉, 오른쪽으로 갈수록 그래프가 위로 쭉쭉 올라가는 모양이죠! (증가함수)
• 밑이 0 < a < 1일 때 (예: y = log_1/2x):
  x의 값이 증가하면 y의 값은 오히려 감소해요. 즉, 오른쪽으로 갈수록 그래프가 아래로 스르륵 내려가는 모양이랍니다! (감소함수)

4. 일대일함수 ☝️↔️☝️

로그함수 y = log_ax는 (정의역 내에서) 일대일함수예요. 즉, 서로 다른 양수 x값에 대해서는 항상 서로 다른 y값을 가진다는 뜻이죠. (x₁ ≠ x₂이면 log_ax₁ ≠ log_ax₂) 일대일함수이기 때문에 역함수인 지수함수 y=a^x가 존재한답니다!

아래 표로 로그함수 y=log₂x (a>1인 경우)와 y=log_1/2x (0

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✅ 개념확인

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💡 참고