⭐ 핵심만정리

로그함수 y = log_ax (a > 0, a ≠ 1) 그래프의 비밀, 바로 지수함수와의 관계에 숨어있어요! 🤫

• 핵심 관계: 로그함수 y = log_ax의 그래프는 그 단짝인 지수함수 y = a^x의 그래프와 직선 y = x에 대하여 서로 대칭이에요! (역함수 관계니까요!)
• 밑 a > 1일 때 (예: y = log₂x):
  • x값이 증가하면 y값도 증가해요 (오른쪽 위로 올라가는 모양).
  • 점 (1, 0)을 항상 지나요.
  • y축 (x=0)을 점근선으로 가져요 (그래프가 y축에 한없이 가까워져요).
• 밑이 0 < a < 1일 때 (예: y = log_1/2x):
  • x값이 증가하면 y값은 감소해요 (오른쪽 아래로 내려가는 모양).
  • 점 (1, 0)을 항상 지나요.
  • y축 (x=0)을 점근선으로 가져요.

또한, y = log_ax와 y = log_1/ax의 그래프는 서로 x축에 대하여 대칭이라는 사실도 기억해두면 좋아요! 😉

📚 개념정리

안녕, 그래프 마술사 친구들! ✨ 오늘은 로그함수 y = log_ax (a > 0, a ≠ 1)의 그래프가 어떻게 생겼는지, 그리고 그 단짝 친구인 지수함수와 어떤 비밀스러운 관계를 가지고 있는지 함께 알아볼 거예요. 바로 직선 y=x라는 마법의 거울을 통해서 말이죠! 😊

로그함수 그래프의 비밀: 지수함수와 y=x 대칭! зеркало

우리가 지난 시간에 로그함수는 지수함수 y = a^x의 역함수라고 배웠죠? 역함수 관계에 있는 두 함수의 그래프는 항상 직선 y = x에 대하여 서로 대칭이라는 아주 중요한 성질이 있어요.

따라서 로그함수 y = log_ax의 그래프는, 지수함수 y = a^x의 그래프를 직선 y = x에 대하여 대칭이동시켜서 그릴 수 있답니다! 지수함수 그래프의 x좌표와 y좌표를 서로 바꾸면 로그함수 그래프 위의 점들이 되는 거예요.

지수함수처럼 로그함수도 밑 a의 값의 범위에 따라 그래프의 모양이 크게 두 가지로 나뉘어요.

1. 밑 a > 1일 때 (예: y = log₂x, y = log₃x) 📈

지수함수 y = a^x (a > 1)는 오른쪽 위로 증가하는 모양이었죠? 이 그래프를 직선 y = x에 대해 대칭시키면 로그함수 y = log_ax (a > 1)의 그래프가 돼요. 이 그래프도 오른쪽 위로 올라가는 증가하는 모양을 가져요.

몇 가지 특징을 살펴볼까요?

• 항상 점 (1, 0)을 지나요. (지수함수가 (0,1)을 지났으니, x와 y를 바꾸면 (1,0)이 되죠! log_a1 = 0이니까요!)
• x값이 증가하면 y값도 한없이 커져요.
• x값이 0에 양수 쪽에서 점점 가까워지면 (x → 0+), y값은 음수 쪽으로 한없이 작아져요. 그래서 y축 (직선 x=0)이 점근선이 된답니다. (지수함수의 점근선은 x축이었죠?)

2. 밑이 0 < a < 1일 때 (예: y = log_1/2x, y = log_1/3x) 📉

지수함수 y = a^x (0 < a < 1)는 오른쪽 아래로 감소하는 모양이었죠? 이 그래프를 직선 y = x에 대해 대칭시키면 로그함수 y = log_ax (0 < a < 1)의 그래프가 돼요. 이 그래프는 오른쪽 아래로 내려가는 감소하는 모양을 가져요.

특징을 살펴볼까요?

• 이 경우에도 항상 점 (1, 0)을 지나요.
• x값이 증가하면 y값은 음수 쪽으로 한없이 작아져요.
• x값이 0에 양수 쪽에서 점점 가까워지면 (x → 0+), y값은 양수 쪽으로 한없이 커져요. 그래서 이 경우에도 y축 (직선 x=0)이 점근선이 된답니다.

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✅ 개념확인

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💡 참고