259 로그함수란? 🤔 지수함수의 단짝, y=logax의 세계!
⭐ 핵심만정리
지수함수의 영원한 단짝, ‘로그함수’를 소개합니다! 🤝 로그함수는 지수함수의 역함수랍니다!
- 로그함수란? 지수함수 y = ax (a > 0, a ≠ 1)의 역함수를 말해요.
- 로그함수의 표현: y = logax (단, a > 0, a ≠ 1)
- 지수함수와 로그함수의 관계:
- 지수함수 y = ax의 정의역은 실수 전체, 치역은 양의 실수 전체죠?
- 로그함수 y = logax는 이와 반대로, 정의역이 양의 실수 전체, 치역이 실수 전체가 된답니다!
즉, 지수함수에서 x와 y의 역할을 바꾼 것이 바로 로그함수라고 생각하면 쉬워요! 😉
📚 개념정리
안녕, 함수 탐험가 친구들! 🚀 우리가 지수함수 y = ax에 대해 배웠었죠? 오늘은 이 지수함수와 아주 특별한 관계에 있는 ‘로그함수’에 대해 알아볼 거예요. 바로 지수함수의 ‘역함수’랍니다! 역함수가 뭐였는지 기억나나요? (개념 196 참고!) 지수함수의 역함수는 어떻게 생겼고, 어떤 특징을 가지는지 함께 탐험해 봅시다! 😊
로그함수의 탄생: 지수함수의 역함수를 찾아서! 🕵️♀️
지수함수 y = ax (단, a > 0, a ≠ 1)는 실수 전체의 집합에서 양의 실수 전체의 집합으로의 일대일대응 함수예요. 일대일대응 함수는 항상 역함수를 가질 수 있다고 했죠? 바로 이 지수함수의 역함수를 로그함수라고 부른답니다.
그럼 지수함수 y = ax의 역함수를 어떻게 구할까요? 역함수 구하는 3단계를 떠올려 봅시다!
- 1단계: x에 대하여 풀기
y = ax를 로그의 정의를 이용해서 x에 대해 표현하면 x = logay가 되죠. - 2단계: x와 y를 서로 바꾸기
위 식에서 x와 y의 자리를 서로 바꿔주면, y = logax라는 새로운 함수를 얻을 수 있어요.
짜잔! 이렇게 해서 탄생한 함수 y = logax (단, a > 0, a ≠ 1)를 바로 “a를 밑으로 하는 로그함수”라고 부르는 거예요!
지수함수와 로그함수의 정의역과 치역: 서로 바뀐다! 🔄
역함수의 중요한 성질 중 하나는 원래 함수의 정의역이 역함수의 치역이 되고, 원래 함수의 치역이 역함수의 정의역이 된다는 것이죠!
- 지수함수 y = ax:
- 정의역: 실수 전체의 집합
- 치역: 양의 실수 전체의 집합
- 로그함수 y = logax (지수함수의 역함수):
- 정의역: (지수함수의 치역이었던) 양의 실수 전체의 집합 (그래서 로그의 진수는 항상 양수여야 해요!)
- 치역: (지수함수의 정의역이었던) 실수 전체의 집합
이렇게 지수함수와 로그함수는 서로의 x와 y의 역할을 주고받는 아주 특별한 단짝 친구랍니다! 🤝
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✅ 개념확인
✏️ 문제: 다음 함수의 역함수를 구하시오.
(1) y = 5x
(2) y = (1/4)x
(숫자 변경: (1) y=3ˣ (2) y=(1/2)ˣ)💡 풀이:
두 함수 모두 지수함수이고, 실수 전체에서 양의 실수 전체로의 일대일대응이므로 역함수가 존재해요.
(1) y = 5x
로그의 정의에 따라 x에 대하여 풀면: x = log5y
x와 y를 서로 바꾸면 구하는 역함수는 y = log5x 입니다.
(2) y = (1/4)x
로그의 정의에 따라 x에 대하여 풀면: x = log1/4y
x와 y를 서로 바꾸면 구하는 역함수는 y = log1/4x 입니다.
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💡 참고
로그함수 y = logax를 생각할 때, 항상 밑 a의 조건 (a > 0, a ≠ 1)과 진수 x의 조건 (x > 0)을 잊지 마세요! 🤔
이 조건들은 로그가 수학적으로 잘 정의되기 위한 약속이기도 하지만, 로그함수가 지수함수의 역함수라는 관계에서도 자연스럽게 나온답니다.
- 지수함수의 밑 a가 a > 0, a ≠ 1이었으므로, 그 역함수인 로그함수의 밑도 같은 조건을 가져요.
- 지수함수의 치역이 ‘양의 실수 전체’였으므로, 그 역함수인 로그함수의 정의역은 ‘양의 실수 전체’가 되는 거예요. 그래서 로그의 진수는 항상 0보다 커야 한답니다!
이렇게 지수함수와 로그함수는 서로 떼려야 뗄 수 없는 아주 가까운 사이라는 것을 기억하면, 두 함수를 이해하는 데 큰 도움이 될 거예요! 😉