⭐ 핵심만정리

지수에 미지수 x가 숨어있는 부등식, ‘지수부등식’을 푸는 핵심 전략을 알아봐요! 가장 중요한 건 밑의 크기에 따른 부등호 방향! 🧭

• 지수부등식이란? 2^x > 8, (1/3)^x-1 ≤ (1/9)^2x처럼 지수에 미지수가 있는 부등식을 말해요.
• 지수부등식 풀이 전략:
  1. 밑을 같게 할 수 있는 경우: a^f(x) < a^g(x) 꼴로 만들고, 밑 a의 크기에 따라 지수를 비교해요.
     • a > 1 (증가함수)일 때: 부등호 방향 그대로! f(x) < g(x)
     • 0 < a < 1 (감소함수)일 때: 부등호 방향 반대로! f(x) > g(x)
  2. a^x 꼴이 반복되는 경우: a^x = t (단, t > 0)로 치환한 후, t에 대한 부등식을 풀어요.

지수함수가 밑의 크기에 따라 증가하거나 감소하는 성질이 지수부등식 풀이의 핵심 열쇠랍니다! 🔑

📚 개념정리

안녕, 부등식 해결사 친구들! 🛡️ 오늘은 지수방정식에 이어, 지수에 미지수가 포함된 부등식, 바로 ‘지수부등식’을 푸는 방법에 대해 알아볼 거예요. 지수방정식과 비슷하지만, 부등호가 있기 때문에 특별히 주의해야 할 점이 있답니다! 함께 그 비밀을 파헤쳐 봅시다! 😊

지수부등식이란 무엇일까요? 🤔

지수부등식은 말 그대로 지수 부분에 미지수 x를 포함하고 있는 부등식을 말해요. 예를 들면 다음과 같은 식들이 지수부등식이랍니다.

• 3^x > 27
• 2^x-1 ≤ 4^x
• 9^x – 2 \cdot 3^x – 3 < 0

지수부등식을 푸는 핵심은 지수함수 y = a^x (a > 0, a ≠ 1)의 증가, 감소 성질을 이용하는 거예요!

• 밑 a > 1이면 x값이 증가할 때 y값도 증가해요 (증가함수).
• 밑이 0 < a < 1이면 x값이 증가할 때 y값은 감소해요 (감소함수).

이 성질 때문에 밑을 같게 한 후 지수를 비교할 때 부등호의 방향이 그대로 유지되거나 반대로 바뀌게 된답니다!

지수부등식 풀이 전략! 💡

지수부등식의 형태에 따라 몇 가지 풀이 전략이 있어요.

1. 밑을 같게 할 수 있는 경우: a^f(x) < a^g(x) 꼴로 변형!

부등식의 양변의 밑을 똑같이 만들 수 있다면, 밑 a의 크기에 따라 지수 f(x)와 g(x)의 대소 관계를 비교해요.

• 밑 a > 1일 때 (증가함수):
  a^f(x) < a^g(x) ⇔ f(x) < g(x) (부등호 방향이 그대로 유지돼요!)
• 밑이 0 < a < 1일 때 (감소함수):
  a^f(x) < a^g(x) ⇔ f(x) > g(x) (부등호 방향이 반대로 바뀌어요! 🚦 주의!)

2. a^x 꼴이 반복되는 경우: 치환으로 간단하게!

부등식에 a^x와 같은 형태가 반복해서 나타난다면, a^x = t로 치환해서 t에 대한 부등식을 풀면 돼요. 이때도 지수방정식처럼 아주 중요한 점! a^x는 항상 0보다 크므로 (a^x > 0), 치환한 문자 t도 t > 0이라는 조건을 반드시 만족해야 해요!

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✅ 개념확인

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💡 참고