⭐ 핵심만정리

지수에 미지수 x가 숨어있는 방정식, ‘지수방정식’을 푸는 다양한 전략을 알아봐요! 🧐

• 지수방정식이란? 3^x = 9, 2^x-1 = 8^2x, 4^x – 2^x – 6 = 0처럼 지수에 미지수가 있는 방정식을 말해요.
• 지수방정식 풀이 전략:
  1. 밑을 같게 할 수 있는 경우: a^f(x) = a^g(x) (단, a > 0, a ≠ 1) 꼴로 만들고, f(x) = g(x)를 풀어요! (지수함수는 일대일함수니까요!)
  2. a^x 꼴이 반복되는 경우: a^x = t (단, t > 0)로 치환한 후, t에 대한 방정식을 풀어요. (a^x는 항상 양수라는 점 기억!)
  3. 지수가 같은 경우: a^f(x) = b^f(x) (단, a > 0, b > 0) 꼴이라면, 밑이 같거나(a=b) 또는 지수가 0 (f(x)=0)임을 이용해요!

지수함수 y=a^x가 일대일대응이라는 성질 덕분에, a^f(x) = a^g(x) 이면 f(x) = g(x) 라고 할 수 있는 것이 가장 기본적인 풀이 원리랍니다! 😉

📚 개념정리

안녕, 방정식 해결사 친구들! 🕵️ 오늘은 지수함수의 성질을 이용해서 지수에 미지수가 숨어있는 특별한 방정식, 바로 ‘지수방정식’을 푸는 방법에 대해 알아볼 거예요. 지수방정식은 어떤 모습이고, 어떤 전략으로 해결할 수 있는지 함께 탐험해 봅시다! 😊

지수방정식이란 무엇일까요? 🤔

지수방정식은 말 그대로 지수 부분에 미지수 x를 포함하고 있는 방정식을 말해요. 예를 들면 다음과 같은 식들이 지수방정식이랍니다.

• 2^x = 8
• 3^x-1 = 9^2x
• 4^x + 2^x – 2 = 0

이런 지수방정식을 푸는 핵심은, 지수함수 y = a^x (단, a > 0, a ≠ 1)가 실수 전체의 집합에서 양의 실수 전체의 집합으로의 일대일대응이라는 성질을 이용하는 거예요. 일대일대응이기 때문에, 만약 a^f(x) = a^g(x) 라면 반드시 f(x) = g(x)가 성립한답니다! 이것이 지수방정식 풀이의 가장 기본적인 원리예요.

지수방정식 풀이 전략! 💡

지수방정식의 형태에 따라 몇 가지 풀이 전략이 있어요.

1. 밑을 같게 할 수 있는 경우: a^f(x) = a^g(x) 꼴로 변형!

방정식의 양변의 밑을 똑같이 만들 수 있다면, 지수끼리 같다고 놓고 풀면 돼요.

즉, a^f(x) = a^g(x) (단, a > 0, a ≠ 1) 꼴로 변형한 후, f(x) = g(x)를 풀면 된답니다.

2. a^x 꼴이 반복되는 경우: 치환으로 간단하게!

방정식에 a^x와 같은 형태가 반복해서 나타난다면, a^x = t로 치환해서 t에 대한 방정식을 풀면 돼요. 이때 아주 중요한 점! a^x는 항상 0보다 크므로 (a^x > 0), 치환한 문자 t도 t > 0이라는 조건을 반드시 만족해야 해요!

3. 지수가 같은 경우: a^f(x) = b^f(x) 꼴

밑은 다른데 지수가 똑같은 형태로 주어진다면, 두 가지 경우를 생각할 수 있어요.

• 밑이 서로 같은 경우: a = b
• 지수가 0인 경우: f(x) = 0 (왜냐하면 a⁰ = 1이고 b⁰ = 1이므로, 밑이 달라도 지수가 0이면 등식이 성립할 수 있죠! 단, a, b ≠ 0)

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✅ 개념확인

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💡 참고