⭐ 핵심만정리

지수함수 f(x) = a^x (a > 0, a ≠ 1)의 최댓값과 최솟값, 주어진 정의역 {x | m ≤ x ≤ n}에서 어떻게 찾을까요? 그래프의 모양만 알면 아주 쉬워요! 🎯

• 밑 a > 1일 때 (증가함수 📈):
  • x = m에서 최솟값 f(m) = a^m을 가져요.
  • x = n에서 최댓값 f(n) = aⁿ을 가져요.
  • (즉, 정의역의 왼쪽 끝에서 최소, 오른쪽 끝에서 최대!)
• 밑이 0 < a < 1일 때 (감소함수 📉):
  • x = m에서 최댓값 f(m) = a^m을 가져요.
  • x = n에서 최솟값 f(n) = aⁿ을 가져요.
  • (즉, 정의역의 왼쪽 끝에서 최대, 오른쪽 끝에서 최소!)

결국, 지수함수의 최대·최소는 주어진 정의역의 양 끝점에서 결정된답니다! 밑 a의 값에 따라 어디서 최대이고 어디서 최소인지 잘 파악하는 것이 중요해요. 😉

📚 개념정리

안녕, 그래프 정복자 친구들! 👑 오늘은 지수함수 f(x) = a^x (a > 0, a ≠ 1)의 최댓값과 최솟값을 찾는 방법에 대해 알아볼 거예요. 함수에서 가장 높은 곳(최댓값)과 가장 낮은 곳(최솟값)을 찾는 것은 마치 산의 정상과 계곡을 찾는 것처럼 흥미진진하답니다! 지수함수에서는 이 과정이 생각보다 간단해요. 😊

지수함수의 최댓값과 최솟값은 주어진 정의역의 범위와 밑 a의 값에 따라 결정돼요. 우리가 이미 배운 지수함수 그래프의 모양을 떠올리면 쉽게 이해할 수 있답니다.

1. 밑 a > 1일 때: 증가하는 그래프의 경우 🚀

밑 a가 1보다 크면, 지수함수 f(x) = a^x는 x값이 증가할수록 y값도 함께 증가하는 증가함수예요. 그래프는 오른쪽 위로 쭉 뻗어 나가죠!

만약 정의역이 {x | m ≤ x ≤ n}으로 주어졌다면,

• 가장 작은 x값인 x = m에서 함숫값 f(m) = a^m이 가장 작으므로 최솟값이 됩니다.
• 가장 큰 x값인 x = n에서 함숫값 f(n) = aⁿ이 가장 크므로 최댓값이 됩니다.

간단히 말해, 증가함수에서는 정의역의 왼쪽 끝에서 최솟값, 오른쪽 끝에서 최댓값을 가져요!

2. 밑이 0 < a < 1일 때: 감소하는 그래프의 경우 🏂

밑 a가 0과 1 사이의 수이면, 지수함수 f(x) = a^x는 x값이 증가할수록 y값은 오히려 감소하는 감소함수예요. 그래프는 오른쪽 아래로 스르륵 내려가죠!

만약 정의역이 {x | m ≤ x ≤ n}으로 주어졌다면, 이번에는 반대가 돼요.

• 가장 작은 x값인 x = m에서 함숫값 f(m) = a^m이 가장 크므로 최댓값이 됩니다.
• 가장 큰 x값인 x = n에서 함숫값 f(n) = aⁿ이 가장 작으므로 최솟값이 됩니다.

간단히 말해, 감소함수에서는 정의역의 왼쪽 끝에서 최댓값, 오른쪽 끝에서 최솟값을 가져요!

결국, 지수함수 f(x) = a^x는 주어진 정의역의 범위가 닫힌 구간 [m, n]이라면, 그 양 끝점에서 반드시 최댓값과 최솟값을 가진다는 것을 알 수 있어요! 어느 쪽이 최대이고 최소인지는 밑 a의 값(즉, 함수가 증가하는지 감소하는지)에 따라 결정된답니다.

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✅ 개념확인

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💡 참고