I-2 지수함수와 로그함수 > 지수함수
개념 253
지수함수의 성질
📌 4가지 핵심 성질
지수함수 \(y=a^x\ (a>0,\ a\neq 1)\)의 성질은 다음과 같다.
① 정의역은 실수 전체, 치역은 양의 실수 전체 \((y>0)\)
②
\(a>1\)이면 증가함수 (x↑ → y↑)
\(0감소함수 (x↑ → y↓)
\(0
③ 일대일함수이다 → \(a^{x_1}=a^{x_2}\Rightarrow x_1=x_2\)
④ 그래프는 점 (0, 1)을 지나고, x축을 점근선으로 갖는다.
▲ 밑의 크기에 따른 지수함수 그래프 비교
📊 두 함수 성질 비교
| 성질 | \(y=2^x\) | \(y=\left(\frac{1}{2}\right)^x\) |
|---|---|---|
| 정의역 | 실수 전체 | 실수 전체 |
| 치역 | 양의 실수 전체 | |
| 증가·감소 | 증가함수 | 감소함수 |
| 일대일 | 일대일함수 ✓ | |
| y절편 | (0, 1) | |
| 점근선 | x축 (y=0) | |
💡 대소 비교 핵심 공식
\(a>1\)일 때: \(x_1
\(0a^{x_2}\)
→ 지수 대소 비교 문제의 핵심!
\(a>1\)일 때: \(x_1
→ 지수 대소 비교 문제의 핵심!
⚠️ 이선생 주의! y축 반대편(y<0)에는 그래프가 존재하지 않는다.
치역이 양의 실수이므로 y=0이 되는 x값은 없다 (점근선만 존재).
치역이 양의 실수이므로 y=0이 되는 x값은 없다 (점근선만 존재).
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