⭐ 핵심만정리

지수함수 y = a^x (a > 0, a ≠ 1)는 어떤 성질들을 가지고 있을까요? 핵심만 쏙쏙! 짚어드릴게요! 🎯

• 정의역: x값은 어떤 실수든 가능해요! 즉, 실수 전체의 집합.
• 치역: y값은 항상 0보다 커요! 즉, 양의 실수 전체의 집합.
• 항상 지나는 점: 밑 a의 값에 관계없이 항상 점 (0, 1)을 지나요. (a⁰ = 1이니까요!)
• 점근선: 그래프가 한없이 가까워지지만 만나지는 않는 선, 바로 x축 (직선 y=0)이에요.
• 증가/감소 (밑 a의 값에 따라 달라요!):
  • a > 1 이면: x값이 증가할 때 y값도 증가해요 (증가함수).
  • 0 < a < 1 이면: x값이 증가할 때 y값은 감소해요 (감소함수).
• 일대일함수: 서로 다른 x값에 대해서는 항상 서로 다른 y값을 가져요. (그래서 역함수가 존재한답니다!)

📚 개념정리

안녕, 그래프 탐험가 친구들! 🧭 지난 시간에는 지수함수 y = a^x의 그래프가 밑 a의 값에 따라 어떻게 그려지는지 살펴봤죠? 오늘은 그 그래프들을 보면서 지수함수가 어떤 중요한 성질들을 가지고 있는지 좀 더 자세히 알아볼 거예요. 이 성질들을 잘 이해하면 지수함수와 더욱 친해질 수 있답니다! 😊

지수함수 y = a^x (a > 0, a ≠ 1)의 그래프를 관찰하면 다음과 같은 주요 성질들을 발견할 수 있어요.

1. 정의역과 치역 🗺️

지수함수 y = a^x에서,

• 정의역 (즉, x가 될 수 있는 값의 범위)은 실수 전체의 집합이에요. x에는 어떤 실수든 자유롭게 대입할 수 있답니다.
• 치역 (즉, y가 될 수 있는 값의 범위)은 양의 실수 전체의 집합이에요. 밑 a가 양수이기 때문에 a^x의 값은 항상 0보다 크답니다. 절대로 0이나 음수가 될 수 없어요!

2. 항상 지나는 점과 점근선 📍🚧

• 지수함수 y = a^x의 그래프는 밑 a의 값에 관계없이 항상 점 (0, 1)을 지나요. 왜냐하면 x=0을 대입하면 a⁰ = 1이 되기 때문이죠!
• 그리고 그래프는 x축 (직선 y=0)에 한없이 가까워지지만 절대로 만나지는 않아요. 그래서 x축을 지수함수의 점근선이라고 부른답니다. “점점 가까워지는 선”이라고 생각하면 쉬워요!

3. 밑 a의 값에 따른 증가와 감소 📈📉

지수함수의 가장 큰 특징 중 하나는 밑 a의 값에 따라 그래프가 증가하는지 감소하는지가 결정된다는 거예요.

• 밑 a > 1일 때 (예: y = 2^x):
  x의 값이 증가하면 y의 값도 함께 증가해요. 즉, 오른쪽으로 갈수록 그래프가 위로 쭉쭉 올라가는 모양이죠! (증가함수)
• 밑이 0 < a < 1일 때 (예: y = (1/2)^x):
  x의 값이 증가하면 y의 값은 오히려 감소해요. 즉, 오른쪽으로 갈수록 그래프가 아래로 스르륵 내려가는 모양이랍니다! (감소함수)

4. 일대일함수 ☝️↔️☝️

지수함수 y = a^x는 일대일함수예요. 이게 무슨 말이냐면, 서로 다른 x값에 대해서는 항상 서로 다른 y값을 가진다는 뜻이에요. (x₁ ≠ x₂이면 a^x₁ ≠ a^x₂) 일대일함수이기 때문에 나중에 배울 ‘로그함수’라는 역함수도 가질 수 있답니다!

아래 표로 지수함수 y=2^x (a>1인 경우)와 y=(1/2)^x (0

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✅ 개념확인

💡 참고