지수와 로그 · 개념 242
지수법칙 – 지수가 실수일 때
답지나라개념사전 | 이선생 20년 강의 핵심 정리
핵심 공식
\(a>0,\ b>0\)이고 \(x,\ y\)가 실수일 때
① \(a^x \cdot a^y = a^{x+y}\)
② \(a^x \div a^y = a^{x-y}\)
③ \((a^x)^y = a^{xy}\)
④ \((ab)^x = a^x b^x\)
⑤ \(\left(\dfrac{a}{b}\right)^x = \dfrac{a^x}{b^x}\)
⚠ 주의밑 조건 \(a>0,\ b>0\) 필수! \((-2)^{\sqrt{2}}\)는 정의되지 않음.
개념 Approach — \(2^{\sqrt{2}}\)의 정의
왜 실수 지수가 가능한가?
\(\sqrt{2} = 1.41421356\cdots\)에 한없이 가까워지는 유리수 수열로 만든
\(2^1,\ 2^{1.4},\ 2^{1.41},\ 2^{1.414},\ \cdots\)
이 값들이 하나의 수에 수렴 → 그 극한값을 \(2^{\sqrt{2}}\)로 정의
\(2^1 = 2\)
\(2^{1.4} \approx 2.6390\)
\(2^{1.41} \approx 2.6574\)
\(2^{1.414} \approx 2.6647\)
\(2^{1.4142} \approx 2.6651\) → \(2^{\sqrt{2}} \approx 2.6651\)
\(2^{1.4} \approx 2.6390\)
\(2^{1.41} \approx 2.6574\)
\(2^{1.414} \approx 2.6647\)
\(2^{1.4142} \approx 2.6651\) → \(2^{\sqrt{2}} \approx 2.6651\)
핵심모든 실수 \(x\)에 대해 \(a^x\ (a>0)\)의 값은 하나로 결정된다.