개념 238 · I-1 지수와 로그
\(a^0\)과 \(a^{-n}\)의 정의
답지나라개념사전 고등수학 | 지수가 0 또는 음의 정수일 때
📌 핵심 정의 (조건: a≠0, n은 양의 정수)
조건: \(a \neq 0\), \(n\)은 양의 정수
정의 ①
\(a^0 = 1\)
정의 ②
\(a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}\)
💡 왜 이렇게 정의하나? — 지수법칙을 유지하기 위해
① a⁰=1인 이유 (m=n일 때)
\(a^m \div a^m = 1\) (좌변)
\(a^{m-m} = a^0\) (우변, 지수법칙 적용 시)
∴ 지수법칙이 성립하려면 \(a^0 = 1\)이어야 한다
② a⁻ⁿ=1/aⁿ인 이유 (m=0일 때)
\(a^0 \div a^n = 1 \div a^n = \dfrac{1}{a^n}\) (좌변)
\(a^{0-n} = a^{-n}\) (우변, 지수법칙 적용 시)
∴ 지수법칙이 성립하려면 \(a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}\)이어야 한다
🎯 이 정의 덕분에 지수법칙 ②가 m, n의 대소와 무관하게 \(a^m \div a^n = a^{m-n}\)으로 통일된다!
🎬 개념 영상
📝 계산 예시
\(3^0 = 1\)
\((-5)^0 = 1\)
\(2^{-3} = \dfrac{1}{8}\)
\(3^{-2} = \dfrac{1}{9}\)
\(\left(\dfrac{1}{2}\right)^{-2} = 4\)
\(a^{-1} = \dfrac{1}{a}\)
⚠️ 이선생 주의사항
0⁰, 0⁻² 는 정의하지 않는다!
분모가 0인 수를 다루지 않는 것처럼 a=0일 때 a⁰, a⁻ⁿ은 수학에서 의미 없다.
분모가 0인 수를 다루지 않는 것처럼 a=0일 때 a⁰, a⁻ⁿ은 수학에서 의미 없다.
음수 지수 ≠ 음수 값!
\(2^{-3} = \dfrac{1}{8} > 0\) — 지수가 음수라도 결과는 양수!
\(2^{-3} = \dfrac{1}{8} > 0\) — 지수가 음수라도 결과는 양수!
💡 이 정의로 지수의 범위: 양의 정수 → 정수 전체로 확장 완료. 다음은 유리수(개념240~241)로 확장!
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